Giải bài hình đề thi HSG tỉnh Thanh Hóa

a) Chứng minh:
và năm điểm A, I, O, M, K cùng nằm trên một đường tròn.
Ta có:


+)

Tam giác CKJ cân tại C nên

Tứ giác AOMD có
nên tứ giác AOMD nội tiếp
ĐPCM
b) Vì tứ giác AOMK nội tiếp nên: DK.DA = DM.DO

(1)
Vì AO là tia phân giác của
nên:
(2)
Tam giác BAO đồng dạng với tam giác BMJ (g.g) nên
(3)
Từ (1), (2) và 3 suy ra:

ĐPCM
Ta có:
(Góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)
tại M
Mà BD cố định, A cố định
M cố định. Vậy KJ luôn đi qua điểm M cố định
c) Gọi Q là giao điểm của đường tròn (O/) ngoại tiếp tứ giác AIOK ta có:

Xét
và
có:
chung;
nên


(g-g)

mà
nên OQ.OP = ON2




(c-g-c)
tại N thuộc (O)
PN là tiếp tuyến của (O)