GIẢI 7 BÀI TOÁN TÌM SỐ DƯ CỦA PHÉP TÍNH LŨY THỪA.doc

GIẢI 7 BÀI TOÁN TÌM SỐ DƯ CỦA PHÉP TÍNH LŨY THỪA
Trong 1 số đề thi HSG (THPT) có dạng đề tìm số dư của biểu thức/ phép tính lũy thừa trông thì phức tạp nhưng nếu biết dùng kến thức đồng dư ta có thể giải dễ dàng. Xin giới thiệu vài bài toán điển hình để các bạn tham khảo

I. Dùng kiến thức về đồng dư để tìm số dư.
* Kiến thức về Phép đồng dư:
+ Định nghĩa: Nếu hai số nguyên a và b chia cho c (c khác 0) có cùng số dư ta nói a đồng dư với b theo modun c ký hiệu

+ Một số tính chất: Với mọi a, b, c thuộc Z+












Bài toán 1: Tìm số dư của phép chia 2004376 cho 1975
Giải:
Biết 376 = 62 . 6 + 4
Ta có:


Vậy


Kết quả: Số dư của phép chia 2004376 cho 1975 là 246

Bài toán 2: Tìm số dư của phép chia
cho
Ta có:
(mod
)
(mod
)
(mod
)
(mod
)
(mod
)
(mod
)
(mod
)

(mod
)
(mod
)
(mod
) Suy ra
(mod
) Vậy số dư của phép chia
cho
là
.
Bài toán 3: Tìm số dư của phép chia
cho
Vì
là số nguyên tố. Theo định lý Fermat (với p là số nguyên tố thì ap-1≡1 mod (p) với mọi số nguyên a ), ta có:
(mod
) Suy ra:
(mod
)
(mod 2003) Vậy số dư của phép chia
cho
là
.

Bài toán 4:Tìm số dư của phép chia:22008 chia cho 25 Giải: Ta có: 25=52 Áp dụng hệ quả của định lí Ferma nhỏ ( với p là số nguyên tố, (a,p)=1 thì
ap(p-1) ≡1 mod (p2) ), ta có: 2 5(5-1} ≡1mod (52) 220 ≡1mod 25 Ta có: 2008 = 20 × 100 +8 suy ra 22008≡28 mod 25 suy ra 22008≡256 mod 25 suy ra 22008≡6 mod 25
Vậy số dư trong phép chia 22008 chia cho 25 là 6

Bài tập thực hành:
1) Tìm số dư của phép chia :
1111201020112012 cho 2013
138 cho 27
2514 cho 65
197838 cho 3878.
20059 cho 2007
715 cho 2001
2) Tìm số tự nhiên A lớn nhất để các số 367222, 440659, 672268 khi lần lượt chia cho A đều có cùng số dư.
II. TÌM N CHỮ SỐ TẬN CÙNG CỦA MỘT LŨY THỪA:
Bài toán tổng quát Tìm 1 chữ số tận cùng của
: * Nếu a có chữ số tận cùng là 0 , 1 , 5 hoặc 6 thì
lần lượt có chữ số tận cùng là 0 , 1 , 5 hoặc 6 . * Nếu a có chữ số tận cùng là 2 , 3 hoặc 7 , ta có nhận xét sau với k thuộc tập hợp số tự nhiên khác 0 : 24k đồng dư 6 ( mod 10 ) 34k đồng dư 1 ( mod 10 ) 74k đồng dư 1 ( mod 10 ) ( Do đó:
a/ Để tìm 1 chữ số tận cùng của an với a có số tận cùng là 2 , 3 , 7 ta lấy n chia cho 4 . Giả sử n = 4k + r với r
{0 , 1 , 2 , 3} - Nếu a đồng dư 2 ( mod 10 ) thì an dồng dư 2n = 24k+r đồng dư 6.2r ( mod 10 ) - Nếu a đồng dư 3 hoặc 7 ( mod 10 ) thì an = a4k+r đồng dư ar (mod 10)
b/ Tìm 2 chữ số tận cùng của an : Ta có nhận xét sau : 220 đồng dư 76 ( mod 100 ) 320 đồng dư 1 ( mod 100 ) 65 đồng dư 76 ( mod 100 ) 74 đồng dư 01 ( mod 100 ) Mà 76n đồng dư 76 ( mod 100 ) với n
1 và 5n đồng dư 25 ( mod 100 ) với n
2 ( Suy ra kết quả sau với k là các số tự nhiên khác 0 : a20k đồng dư 00 ( mod 100 ) nếu a đồng dư 0 ( mod 10 ) a20k đồng dư 01 ( mod 100 ) nếu a đồng dư 1 ; 3 ; 7 ; 9 (mod 10 ) a20k đồng dư 25 ( mod 100 ) nếu a đồng dư 5 ( mod 10 ) a20k đồng dư 76 ( mod 100 ) nếu a đồng dư 2 ; 4 ; 6 ; 8 (mod 10