Giải 5 bài toán hinh HSG 8.doc

Giải 5 bài toán hình HSG 8
(Chọn trong 24 bộ đề luyện thi HSG toán lớp 8 – trong thư viện đề thi)

Câu 4 Đề I : (6,0 điểm)
Cho hình bình hành ABCD có đường chéo AC lớn hơn đường chéo BD. Gọi E, F lần lượt là hình chiếu của B và D xuống đường thẳng AC. Gọi H và K lần lượt là hình chiếu của C xuống đường thẳng AB và AD.
Tứ giác BEDF là hình gì ? Hãy chứng minh điều đó ?
Chứng minh rằng : CH.CD = CB.CK
Chứng minh rằng : AB.AH + AD.AK = AC2.

HD Giải
a/ BE ( AC và DF( AC ( BE//DF (1)
(BEC = (DFA (2( vuông 2 cạnh huyền bằng nhau và (ACB = (CAD) (BE=DF
( Vậy BEDF là hình bình hành
b/ Trong H.bình hành ABCD, AB//CD và
CB//AD ( CK(AD thì CK(BC
(HCB = (KCD vì 2 góc đều hợp với (BCD thành góc vuông ((CHB ~ (CKD
( CH/CB = CK/CD ( CH.CD = CB.CK (đpcm)
c/ Trong (vuông KCA có: AC2 = AK2 + CK2 (1)
Trong (vuông HCA có: AC2 = AH2 + CH2 (2)
CK là đường cao của (CAD ( CK2 = AD.AK (hình chiếu của 2 cạnh) (*(
CH là đường cao của (CAB ( CH2 = AB.AH (hình chiếu của 2 cạnh) (**(
Thay (*( và (**( vào (1) và (2) rồi cộng (1) với (2) ( ĐPCM

Câu 4-Đề IV (3đ):
Cho tam giác ABC, đường cao AH, vẽ phân giác Hx của góc AHB và phân giác Hy của góc AHC. Kẻ AD vuông góc với Hx, AE vuông góc Hy.
Chứng minh rằng tứ giác ADHE là hình vuông
HD giải:
ADHE là hình chữ nhật vì có 3 góc vuông
( D, ( E (theo GT); (H= 45o + 45o
(EAH và (DAH là ( vuông cân vì
có 1 góc = 45o ( AD = HD = HE = HF
( ADHE là hình vuông (đpcm)



Bài 5 Đề V: (4 điểm)
Cho tam giác ABC vuông tại A, D là điểm di động trên cạnh BC. Gọi E, F lần lượt là hình chiếu vuông góc của điểm D lên AB, AC.
Xác định vị trí của điểm D để tứ giác AEDF là hình vuông.
Xác định vị trí của điểm D sao cho 3AD + 4EF đạt giá trị nhỏ nhất.
Giải
a/Theo đầu bài có : DE(AB ; DF(AC.
Để EDFA là hình vuông thì DE = DF,
Nghĩa là D cách đều 2 cạnh góc vuông của ( vuông ABC ( D phải nằm trên đường phân giác của (BAC.
( D là giao điểm của đường phân giác (A với cạnh huyền BC.
b/ Nếu cho ( vuông ABC có AB (3AD + 4EF=3AB + 4AB =7AB
Nếu cho ( vuông ABC có AB Vì AB < AC ( khi D trùng với B ta có tổng nhỏ nhất

Bài 5 Đề VII (3 điểm)
Cho tam giác ABC vuông tại A có góc ABC bằng 600, phân giác BD. Gọi M,N,I theo thứ tự là trung điểm của BD, BC, CD.
a, Tứ giác AMNI là hình gì? Chứng minh.
b, Cho AB = 4cm. Tính các cạnh của tứ giác AMNI.
HD Giải
a/ Theo đề bài: M và N là 2 trung điểm của (BDC ( MN//DC ( AMNI là hình thang
( cân MAC có (D = 60o( ( MAC là TG đều
MA=MD=NI ( AMNI là hình thang cân
b/ (ABD đồng dạng với (HMD = (HMA và đều là TG vuông có góc = 60o. (BD=1/2AB.
AB = 4 ( BD = 2.

MD = MA = AD = NI=1/2BD =
và MN =

Trong (MAI có MA =
; ( AI = 2.




Bài 4 Đề XIII : (3điểm)
Cho hình vuông ABCD. M là một điểm trên đường chéo BD. Kẻ ME và MF vuông góc với AB và AD.
a) Chứng minh hai đoạn thẳng