GIẢI ĐỀ CHUYÊN TOÁN LÊ QUÝ ĐÔN - BÌNH ĐỊNH 17-18

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT CHUYÊN
BÌNH ĐỊNH NĂM HỌC 2017 - 2018
TRƯỜNG THPT CHUYÊN LÊ QUÝ ĐÔN
Đề chính thức
Môn: TOÁN (Chuyên toán)
Ngày thi: 04/06/2017
Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian phát đề)



Bài 1: (2,0 điểm)
Cho biểu thức A =

a) Tìm điều kiện của x để biểu thức A có nghĩa. Rút gọn A
b) Tìm x để A
0
c) Tìm giá trị lớn nhất của A.

Bài 2: (2,0 điểm)
1) Giải phương trình sau:


2) Chứng minh rằng nếu số tự nhiên
là số nguyên tố thì
không là số chính phương.

Bài 3: (1,0 điểm)
Cho đa thức f(x) =
– 2(m + 2)x + 6m + 1 (m là tham số). Bằng cách đặt x = t + 2. Tính f(x) theo t và tìm điều kiện của m để phương trình f(x) = 0 có hai nghiệm lớn hơn 2.

Bài 4: (4,0 điểm)
1. Cho đường tròn (T) tâm O đường kính AB, trên tiếp tuyến tại A lấy một điểm P khác A, điểm K thuộc đoạn OB (K khác O và B). Đường thẳng PK cắt đường tròn (T) tại C và D (C nằm giữa P và D), H là trung điểm của CD.
a) Chứng minh tứ giác AOHP nội tiếp được đường tròn.
b) Kẻ DI song song với PO, điểm I thuộc AB, chứng minh:

c) Chứng minh đẳng thức

d) BC cắt OP tại J, chứng minh AJ song song với DB.

2. Cho tam giác ABC vuông tại A. Từ điểm I thuộc miền trong tam giác, kẻ IM
BC, kẻ
IN
AC, IK
AB. Tìm vị trí của I sao cho tổng
nhỏ nhất.

Bài 5: (1,0 điểm)
Cho các số thực dương x, y, z thỏa mãn xyz
1.
Chứng minh rằng:




Bài 1:
a) Điều kiện để A có nghĩa là x
0 và x
1
A =
=

=
=
= – x +

b) A
0
– x +

0
x –

0



0
0


1

0
x
1. Kết hợp với điều kiện ban đầu x
0 và x
1. Ta được: 0
x < 1
c) A = – x +
=
với mọi x
Dấu “=” xảy ra khi
= 0

(TMĐK x
0 và x
1)
Vậy GTLN của A là
khi x =

Bài 2:
1) x = 0 không phải là nghiệm của phương trình nên x
0. Do đó chia cả hai vế phương trình cho

0, ta được:
(1)
Đặt: y =

.
Do đó PT (1) trở thành:

y = – 6 ; y = 4
Với y = – 6 ta có:
= – 6


Với y = 4 ta có:
= 4


Vậy phương trình đã cho có tập nghiệm là: S =

Cách 2:







PT (1):

PT (2):

Vậy phương trình đã cho có tập nghiệm là: S =

2) Chứng minh bằng phản chứng. Giả sử
là số chính phương

Xét 4a.
= 4a(100a + 10b + c) =
=

=
= (20a + b + m)(20a + b – m)
Tồn tại một trong hai thừa số 20a + b + m, 20a + b – m chia hết cho số nguyên tố
. Điều này không xảy ra vì cả hai thừa số trên đều nhỏ hơn
.
Thật vậy, do m < b (vì
) nên:
20a + b – m
20a + b + m < 100a + 10b + c =

Vậy nếu số tự nhiên
là số nguyên tố thì
không là số chính phương.

Bài 3:
Ta có: h(t) = f(t + 2) =

=

=



= 0 (*)
Phương trình: f(x) = 0 có 2 nghiệm lớn hơn 2
Phương trình h(t) = 0 có 2 nghiệm dương


Vậy với m
thì phương trình f(x) = 0 có 2 nghiệm lớn hơn 2.
Bài 4