GIẢI BÀI HÌNH Tp.HCM

Bài: (TS 10 Tp.HCM: 2017 – 2018)
Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O). Các đường cao AD, BE và CF cắt nhau tại H.
a) Chứng minh tứ giác BCEF nội tiếp và xác định tâm I của đường tròn ngoại tiếp tứ giác BCEF.
b) Đường thẳng EF cắt đường thẳng BC tại M và cắt đường tròn (O) tại K và T (K nằm giữa M và T). Chứng minh: MK.MT = ME.MF
c) Chứng minh tứ giác IDKT nội tiếp
d) Đường thẳng vuông góc với IH tại I cắt đường thẳng AB, AC và AD lần lượt tại N, S và Q. Chứng minh Q là trung điểm của NS.
Giải

a) Chứng minh tứ giác BCEF nội tiếp
Tứ giác BCEF nội tiếp đường tròn đường kính BC
Tâm I là trung điểm của BC
b) Chứng minh: MK.MT = ME.MF
Ta chứng minh được:
MK.MT = MB.MC (do tứ giác BKTC nội tiếp)
ME.MF = MB.MC (do tứ giác BCEF nội tiếp)
Do đó: MK.MT = ME.MF (1)
c) Chứng minh tứ giác IDKT nội tiếp
Tứ giác BDHF; CDHE; BCEF nội tiếp
Nên




Mà:
(góc ở tâm và góc nt cùng chắn một cung)
Do đó:

Tứ giác DIEF nội tiếp

ME.MF = MD.MI (2)
Từ (1) và (2) suy ra: MK.MT = MD.MI

Tứ giác IDKT nội tiếp
d) Chứng minh Q là trung điểm của NS.
Kẻ đường kính AG của đường tròn (O)
Ta có: BHCG là hình bình hành, có I là
trung điểm BC nên I là trung điểm của HG

H, I, G thẳng hàng.
Kẻ đường thẳng vuông góc với GH tại H cắt AB tại J, cắt AC tại P
Ta có: GBJH; GCPH nội tiếp nên

mà
(vì BHCG là hình bình hành)




GJP cân tại G
Đường cao GH cũng là đường trung tuyến

HJ = HP (3)

ANQ có JH // NQ nên
và
ASQ có PH // SQ nên


(4)
Từ (3) và (4) suy ra: QN = QS







Bài: (HSG – Bình Định: 2016 – 2017)
Cho tam giác ABC có ba góc nhọn. AD, BE, CF là các đường cao. Lấy M trên đoạn FD, lấy N
trên tia DE sao cho
. Chứng minh MA là tia phân giác của góc

Giải

Qua M kẻ đường thẳng song song với BC cắt DE tại K
Tứ giác AEDB nội tiếp

Mà:
(vì MK // BC).
Do đó:

Tứ giác AMKN nội tiếp


Ta có:
(=
)



DMK có DA là phân giác vừa là đường cao nên cân tại D

DM = DK

AMD =
AKD (c.g.c)

Nên:
. Ta có:

Vậy: MA là phân giác của góc