G.A TS10-Chủ đề 5: Nâng cao

Chủ đề 5: TOÁN NÂNG CAO

Hoạt động
Nội dung

Bài 1: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau:
P =

HD: Ta có: x2 – x + 1 = với mọi x
=> P = =
Giá trị nhỏ nhất của P là khi x + 1 = 0 x = -1
P = = 2
Giá trị lớn nhất của P là 2 khi x – 1 = 0 x = 1

Bài 2 Tìm tất cả các cặp số nguyên (x, y) thoả mãn:
12x2 + 6xy + 3y2 = 28(x + y)

HD: Ta có: 12x2 + 6xy + 3y2 = 28(x + y)
<=> 3y2 + 2(3x – 14)y + 12x2 – 28x = 0 (1)
Xem (1) là phương trình bậc hai ẩn y thì (1) có nghiệm nguyên khi và chỉ khi ’ là số chính phương.
Ta có: ’ = (3x – 14)2 –36x2 + 84x = k2 0
–27x2 + 196 = k2 0 27x2 196 x2 7 x
Nếu x = 0 thì y = 0; x = 1 thì y = 8; x = -1 thì y = 10; x = 2 thì y Z
Vậy các cặp số (x; y) thoả mãn đề bài là (0; 0); (1; 8); (-1; 10)

Bài 3: Cho hai số a và b khác 0 thoả mãn: Chứng minh phương trình ẩn x sau luôn có nghiệm
(x2 + ax + b)(x2 + bx + a) = 0

HD: Xét phương trình (x2 + ax + b) = 0 (1) có 1= a2– 4b
Xét phương trình (x2 + bx + a) = 0 (2) có 2 = b2 – 4a
1 + 2 = a2 + b2 – 4(a + b).
mà 2(a + b) = ab
1 + 2 = a2 + b2 – 4(a + b) = a2 + b2 – 2ab
= (a – b)2 0
Có ít nhất một trong hai phương trình có nghiệm.
Do đó phương trình (x2 + ax + b)(x2 + bx + a) = 0 luôn luôn có nghiệm

Bài 4: Chứng minh rằng tích của 4 số nguyên dương liên tiếp không thể là số chính phương

HD: Gọi bốn số nguyên dương liên tiếp là x; x + 1; x + 2; x + 3 với x nguyên dương
Giả sử x(x + 1)(x + 2)(x + 3) = k2
<=> (x2 + 3x)(x2 + 3x + 2) = k2
<=> (x2 + 3x + 1)2 – 1 = k2
(x2 + 3x + 1)2 và k2 là hai số chính phương hơn kém nhau 1 đơn vị nên
(x2 + 3x + 1)2 = 1 và k2 = 0 x = 0; x = -3 trái với giả thiết
Vậy tích của bốn số nguyên dương liên tiếp không thể là số chính phương

Bài 5: Cho 3 số dương x; y; z thoả mãn x + y + z = 1. C.minh:
> 14

HD: Từ x + y + z = 1 suy ra
(x + y + z)2 = x2 + y2 + z2 + 2(xy + yz + zx) = 1

=

= 2 +
Áp dụng bất đẳng thức CauChy ta cho hai số dương ta có: 6 + 2 +
= 8 + 2> 8 + 214

Bài 6: Biết Tính x + y

HD: Ta có: (1)
Nhân cả hai vế của (1) với ta được:
5= 5
hay x + y = – (2)
Nhân cả hai vế của (1) với ta được:
5= 5
hay x + y = – (3)
Cộng (2) và (3) vế theo vế ta được: 2(x + y) = 0
Vậy x + y = 0

Bài 8: Cho tam giác ABC cân có: 1080 . Tính

HD: Lấy trên cạnh BC điểm D sao cho CD = AC = AB
ABC DBA
Đặt = x > 0 x = 1 + x2 – x – 1 = 0
x =
Vậy =

Bài 10 : Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ