Đường thẳng Euler.doc

Đường thẳng Euler và đường tròn Euler

I. Đường thẳng Euler

1/- Định nghĩa về đường thẳng Ơ - le :
"Trong tam giác ABC không đều, nếu gọi O là giao điểm của ba đường trung trực (tâm đường tròn ngoại tiếp); G là giao điểm của đường trung tuyến (trọng tâm); H là giao điểm 3 đường cao (trực tâm) thì O,G,H cùng thuộc một đường thẳng gọi là đường thẳng Ơ - le"

Ngắn gọn : " Đường thẳng Ơ - le là đường thẳng chứa O,G,H lần lượt là tâm đường tròn ngoại tiếp, trọng tâm và trực tâm."

Tính chất : G ở giữa O,H và OH = 3OG.

Thực ra đường thẳng Ơ - le đã được học ở lớp 7. Nó nằm ở trang 84 Sgk Toán 7 (tập 2); Nhưng tác giả chỉ nêu ra định ngĩa và tính chất, chưa đi chứng minh.

2/- Chứng minh theo cách lớp 8.

Đề bài : Cho tam giác ABC không đều. H, G, O theo thứ tự là giao điểm của 3 đường cao, 3 đường trung tuyến, 3 đường trung trực.
CMR : 1)- H, G, O thẳng hàng
2)- OH = 3OG.

Bài giải:
Gọi AM là trung tuyến từ A tới BC.

Có : OM ( BC; AH ( BC
( OM // AH

Lấy I là trung điểm AG; K là trung điểm HG.

IK // AH (tính chất đường trung bình)

Mà AH // OM ( IK // OM

Xét tam giác AGH có :
AH // OM (cmt) :

Có : OM/ AH = GM/AG (Theo hệ quả của định lí Ta - lét)

Xét ( AGH và (OGM có: (HAG = (GMO (cặp góc so le trong. AH // OM)

OM/AH = GM/AG (cmt) ( ΔAGH ~ ΔMGO(c.g.c)

( (AGH = (OGM và là 2 góc đối đỉnh vì AGM thẳng hàng

( Vậy H,G,O thẳng hàng (ĐPCM 1)

* Có H,K,G thẳng hàng (K là trung điểm HG) và H,O,G thẳng hàng (cmt)
( O,G,K thẳng hàng. (ΔIGK=ΔMGO(g.c.g) ( GK=GO

Mà GK = HK (theo cách vẽ) ( HK + KG + GO = 3OG = OH (ĐPCM 2)

Biện luận: Đường thẳng Euler áp dụng cho mọi tam giác, nên sau bài CM trên ta cần xét thêm các trừơng hợp :

Trường hợp 1: Với ( có 1 góc > 900 (Hình 2). Có thể CM cách tương tự bài trên.
Với HS đã học về đưởng tròn nội-ngoại tiêp có thể áp dụng cách CM sau:

Giả sử (ABC có trực tâm H , trọng tâm G , O là tâm đường tròn ngoại tiếp , I là trung điểm BC , AD là đường kính của (O) .
1) Chứng minh H , G , O thẳng hàng ?
Ta có : ( DCA = ( DBA = 90o ( góc nội tiếp chắn 1/2 (O))
* Xét tứ giác BHCD ta có :
BH // DC ( vì cùng vuông góc với AC )
CH // DB ( vì cùng vuông góc với AB )
( tứ giác BHCD là hình bình hành .
H , I , D thẳng hàng và IH = ID
(2 đường chéo hình bình hành)
Ta lại có :
OI = 1/2 AH ( đ.trung bình (DAH ) (1) ( GI = 1/2 GA ( trọng tâm ( ABC ) (2)
góc HAG = góc GIO ( so le trong vì AH // OI ) (3)
Do đó tam giác GAH đồng dạng tam giác GIO ( c.g.c)
( HGA = ( IGO (góc tương ứng của 2 ( đ.dạng )
Vì ( HGA và (IGO là 2 góc ở vị trí đối đỉnh bằng nhau ( H , G , O thẳng hàng .
( trực tâm , trọng tâm , tâm đường tròn ngoại tiếp cùng nằm trên 1 đường thẳng đó là đường thẳng Euler !

Trường hợp 2: Với ( có 1 góc = 900 (Hình 3) : CM dễ dàng hơn, Khi ấy H trùng A mà AGO đã là đường thẳng và là trung tuyến ( OA = 3OG
II. Đường tròn Euler

1/ Định nghĩa về đường tròn Ơ - le :

“Chân ba đường cao của một tam giác bất kì, ba trung điểm của ba cạnh, ba trung