DethiHSGHaNoi2008-2009

đề thi hsg thành phố Hà nội
năm học: 2008-2009
Môn:toán
Ngày thi: 27-3-2009
Thời gian làm bài :150 phút
(Đề thi gồm 01 trang)


CâuI( 4 điểm):

1) Chứng minh rằng với mọi số nguyên a ta đều có (a3+5a) là số nguyên chia hết cho 6.
2) Cho A =2730910Tìm số dư trong phép chia A cho 7.

CâuII( 4 điểm):

1) Chứng minh: với x,y>0. Đẳng thức xảy ra khi nào?
2) Tìm GTNN của biểu thức P,biết: P với a>0,b>0 và a+b
CâuIII( 4 điểm):

Cho phương trình x+m-1=m
1) Giải phương trình khi m=3.
2) Với GT nào của m thì phương trình đã cho có nghiệm lớn hơn 1?

CâuIV( 4 điểm):

Cho đường tròn (O;3) và điểm A cố định (A khác O). Chứng minh
1) Nếu HK là đường kính của đường tròn (O;3) thì AH 3 hoặc AK3.
2) Tồn tại hình thang cân MNPQ nội tiếp đường tròn (O;3) thoă mãn đồng thời hai điều kiện MA+NA+PA+QA>12 và MN+NP+PQ+QM <12.

CâuV( 4 điểm):

Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB =2R và C là điểm chính giữa của cung AB. Lấy điểm M tuỳ ý trên cung BC(M khác B). Gọi N là giao điểm của hai tia OC và BM; H,I lần lượt là trung điểm của các đoạn thẳng AO,AM;K là giao điểm của các đường thẳng BM và HI.
1) Chứng minh rằng các điểm A,H,K và N cùng nằm trên một đường tròn.
2) Xác định vị trí của điểm M trên cung BC(M khác B) sao cho AK

--------------------Hết------------------------
(Giám thị không giải thích gì thêm)

Họ và tên thí sinh:........................................................................................................
Số báo danh: :.............................................................................................................