Đề vào 10 chuyên toán (đ34)

ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP.HỒ CHÍ MINH TRƯỜNG PHỔ THÔNG NĂNG KHIẾU ----------
ĐỀ THI TUYỂN SINH LỚP 10 CHUYÊN TOÁN NĂM HỌC 2005-2006 MÔN THI: TOÁN
Thời gian làm bài: 150 phút.
Câu 1: a) Cho a, b ] 0,
không phải là số nguyên tố. b) Tính tổng các số nguyên dương từ 1 đến 1000 mà trong cách viết thập phân của chúng không chứa chữ số 4 và chữ số 5 c) Cho tam thức bậc hai
. Chứng minh rằng P(–x) = P(x) với mọi x. Câu 3:
Cho tam giác nhọn ABC. Điểm D đi động trên cạnh BC. Gọi
. Hãy xác định vị trí điểm D trên BC sao cho IO nhỏ nhất.
Câu 4: a) Cho hình vuông ABCD có cạnh bằng 1. M là một điểm bất kỳ nằm trong hình vuông. Chứng minh rằng
. b) Cho x, y, z, t là các số thực bất kỳ thuộc đọan [0, 1]. Chứng minh rằng ta luôn có bất đẳng thức
. Câu 5:
Xét 81 chữ số, trong đó có 9 chữ số 1, 9 chữ số 2, …, 9 chữ số 9. Hỏi có thể xếp được hay không tất cả các chữ số này thành một dãy, sao cho với mọi k = 1, 2, …., 9, trong mỗi khoảng giữa hai chữ số k liên tiếp ở trên dãy có đúng k chữ số ?


Cán bộ coi thi không giải thích đề thi.