Đề và HDC ôn thi HSG toan 9

đề thi học sinh giỏi lớp 9
Thời gian: 150 phút

Bài 1 (4 điểm) : Cho biểu thức:

a. Rút gọn biểu thức P
b. Tìm giá trị của x để P = 1
Câu 2 ( 3 điểm ): Cho x, y thoả mãn: (x +
Hãy tính tổng S = x + y
Câu3 ( 3 điểm) : Cho hệ phương trình hai ẩn x, y sau:

a) Giải hệ phương trình với m =1
b) Tìm m để hệ có nghiệm duy nhất (x; y) thoả mãn P = xy đạt giá trị lớn nhất
Câu 4 (3 điểm): Giải các phương trình và hệ phương trình sau
a3 + 2 b)
Câu 5 (5 điểm ): Cho đường tròn( O, R) và hai đường kính AB, MN. Các đường thẳng BM, BN cắt tiếp tuyến tại A của đường tròn( O) tương ứng tại M’ và N’. Gọi P, Q theo thứ tự là các trung điểm M’A và N’A
a. Chứng minh tứ giác MNN’M’ nội tiếp.
b. Chứng minh rằng các đường cao của BPQ cắt nhau tại trung điểm của bán kính OA.
c. Giả sử AB cố định, MN thay đổi. Tính giá trị nhỏ nhất của diện tích BPQ theo R.
Câu6 : (2 điểm) Chứng minh bất đẳng thức sau:
với x ( 1, y ( 1


đáp án
Bài
Nội dung
Điểm

1a.
đk

0,5


Ta có:
0,5


=
1


= Vậy P =
0,5

b.
Ta thấy P = 1
1


Vậy với x = 25 thì P = 1
0,5

2.
(3đ)
Ta có:


Vậy
(*)
Nếu x = 0 => y = 0 => S = 0
Nếu x ( 0 => y ( 0 từ (*) => => xy < 0
Vậy => 2009x2 = 2009y2 => x2 = y2
=> (x-y)(x+y) = 0
mà xy < 0 => x - y ( 0




0,5

0.5
0.5


0.5

0.5

0.5

Câu
3

a) (1 đ) Với m = 1 hệ phương trình hai ẩn x, y sau:
trở thành

Giải ra ta được x = 0 , y =1

0,5


0.5


b) ( 2 đ)
Hệ luôn có nghiệm duy nhất
Vì từ (2)
Thay vào (1) ta được:
(m+1)x + m(- m2 +mx + 2) = 2m -1

(m2 + m + 1)x = m3 – 1 0,25đ
Mà m2 + m + 1 = 0.25 đ
Hệ có nghiệm duy nhất là:
0.25 đ
Ta có P = xy = (m -1)(2- m) = - m2 + 2m + m – 2
=
= 0.25đ
Dấu “=” xảy ra 0,25đ
Vậy giá trị lớn nhất của P là MaxP 0,5 đ


3a.
1.5
ĐK 0 < x < 1 và x (
0.25


Khử mẫu ở vế trái ta được phương trình:
3= 3 + 2
Đặt t ( đk : 0 < t <
0,75



Phương trình viết thành : t2 - 3 t + 2 = 0
Kết luận: x = 0 ; x = 1 là nghiệm của phương trình đã cho.
0,5

b.
1.5
Đk

0,25


Đặt với u ( 0; v ( 0 Ta có
0,25