Đề và đáp án vào 10 Hà Nội 2017-2018

HƯỚNG DẪN GIẢI


Bài
Phần
Nội dung

Bài I
(2,0đ)
1)
Khi x = 9 thì:




2)


Vậy
với
.


3)
Với
, ta có:



(thỏa mãn điều kiện)
Vậy
là giá trị cần tìm.

Bài II
(2,0đ)

Đổi 36 phút =
giờ
Gọi vận tốc của xe máy là x (km/h) (x > 0)

Vận tốc của ô tô là x + 10 (km/h).
Thời gian xe máy đi từ A đến B là
(giờ)
Thời gian ô tô đi từ A đến B là
(giờ)
Ta có phương trình:

Giải phương trình được: x1 = 40 (thỏa mãn điều kiện)
x2 = – 50 (không thỏa mãn điều kiện)
Vậy vận tốc của xe máy là 40 km/h,
vận tốc của ô tô là 40 + 10 = 50 (km/h).

Bài III
(2,0đ)
1)
ĐK:




(thỏa mãn điều kiện)
Vậy nghiệm của hệ phương trình là (1; 5).


2a)
Thay x = 0, y = 5 vào phương trình y = mx + 5, ta được:

(đúng với mọi m)
Vậy đường thẳng (d) luôn đi qua điểm A(0; 5)


2b)
Xét phương trình hoành độ giao điểm của (P) và (d):

(*)
Vì ac = – 5 < 0 nên phương trình (*) luôn có hai nghiệm trái dấu

(d) luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt có hoành độ lần lượt là x1, x2, với

Mà
nên:

(theo hệ thức Vi-ét)
Vậy m < 0 là giá trị cần tìm.

Bài IV
(3,5đ)





1)
Ta có
là các góc nội tiếp chắn lần lượt các cung nhỏ MA, MB
Mà
(GT)



Bốn điểm C, N, K, I cùng thuộc một đường tròn (theo bài toán cung chứa góc)


2)
Ta có
là các góc nội tiếp chắn lần lượt các cung nhỏ NC, NB
Mà
(GT)



NBK và
NMB có:



NBK

NMB (g.g)




3)
Xét đường tròn đi qua bốn điểm CNKI có:

(hai góc nội tiếp cùng chắn cung CI)
Mà
(hai góc nội tiếp cùng chắn cung AC của (O))


Do hai góc ở vị trí đồng vị nên KI // BH
Chứng minh tương tự ta được HI // BK
Tứ giác BHIK có các cạnh đối song song nên là hình bình hành.
Cách 1:
Vì
nên
, hay CM là tia phân giác của góc ACB
Tương tự, AN là tia phân giác của góc BAC

ABC có hai đường phân giác AN và CM cắt nhau tại I

BI là đường phân giác thứ ba của
ABC
Hình bình hành BHIK có BI là đường phân giác của góc B nên là hình thoi.
Cách 2:
Vì
là các góc có đỉnh ở bên trong đường tròn nên:




BHK cân tại B
BH = BK
Hình bình hành BHIK có BH = BK nên là hình thoi.
Nhận xét: Phần này có nhiều cách chứng minh.


4)


(P) có góc M1 là góc nội tiếp, góc P1 là góc ở tâm cùng chắn cung BK


Mà
PBK cân tại P (vì PB = PK)

(1)
(O) có đường kính DN đi qua N là điểm chính giữa của cung BC

và DN đi qua trung điểm của BC


DBC cân tại D


Trong (O), dễ thấy


(2)
Từ (1) và (2)


ba điểm D, P, B thẳng hàng
Lại có
và hai góc ở vị trí đồng vị

PK // DC
Chứng minh tương tự được ba điểm D, Q, C thẳng hàng và QK // DB
Do đó, PK // DQ và QK // DP

Tứ giác DPKQ là hình bình hành

E là trung điểm của đường chéo PQ thì E cũng là trung điểm của đường chéo DK
Vậy ba điểm D, E, K thẳng hàng.

Có thể chứng minh ba điểm D, P, B thẳng hàng theo các cách sau:
Cách