Đề và đáp án thi hsg toán 9 thái nguyên

UBND tỉnh Thái Nguyên Cộng hoà xã hội chủ nghĩa việt nam
Sở Giáo dục & Đào tạo Độc lập - Tự do - Hạnh phúc


KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH LỚP 9 THCS
Tháng 3 / 2012
MôN: Toán
(Thời gian làm bài: 150 phút không kể thời gian giao đề)

Đề chính thức

Bài 1. Chứng minh rằng tổng bình phương của 5 số nguyên liên tiếp không là số chính phương.
Bài 2. Giải phương trình và hệ phương trình sau:
a,
+
= 1
b,


Bài 3. Cho
ABC có 3 góc đều nhọn. Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp
ABC; R, r theo thứ tự là độ dài bán kính đường tròn ngoại tiếp và đường tròn nội tiếp
ABC; M, N, P lần lượt là hình chiếu vuông góc của O trên AB, BC và AC.
a, Chứng minh: BN . OM + BM . ON = BO . MN
b, Đặt ON = d1 ; OM = d2 ; OP = d3 .
Tính R + r theo d1 , d2 , d3 ?
Bài 4. Lấy một số tự nhiên có 2 chữ số chia cho số có 2 chữ số viết theo thứ tự ngược lại thì được thương là 4 và dư 15. Nếu lấy số đó trừ đi 9 thì được một số bằng tổng bình phương của 2 chữ số tạo thành số đó. Tìm số tự nhiên ấy?

-------------- Hết ---------------

Họ tờn thớ sinh:..........................................................Số bỏo danh:.........................



áp án Đ1
UBND tỉnh Thái Nguyên Cộng hoà xã hội chủ nghĩa việt nam
Sở Giáo dục & Đào tạo Độc lập - Tự do - Hạnh phúc


KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH LỚP 9 THCS
Tháng 3 / 2012
hớng dẫn chấm toán 9

Bài 1: 3,5 điểm
C1: Gọi 5 số nguyờn liờn tiếp là n-2, n-1, n, n+1, n+2 với n nguyờn, dễ thấy tổng cỏc bỡnh phương của 5 số đó là 5(n2 + 2) chia hết cho 5 nhưng không chia hết cho 25 nên không thể là số chính phương.
C2: Xét tính chẵn lẻ của 5 số nguyên liên tiếp đó.
Bài 2: a. 3,5 điểm
Đặt a =

b =



Ta có :



a3 + a2 - 2a = 0

a ( a2 + a -2) = 0



Hệ ( I ) có ba nghiệm : ( 0 ; 1) ; ( 1 ; 0) ; ( -2 ; 3)
nên phương trình đã cho có nghiệm : 2 ; 1 ; 10

b, 3,5 điểm
Từ (1) ; (2) ta có : (x – z)(x – y + z) = 0 (4)

Từ (2) và (3) ta có: ( y - x)(x + y –z) = 0 (5)
Từ (3) ; (4) ; (5) ta có hệ :


Để giải hệ trên ta giải 4 hệ







Giải 4 hệ trên ta được 8 bộ nghiệm của hệ phương trình :
(1; 1; 1) ; ( -1;-1; -1 ) ;
;


;
;
;


Bài 3: 6 điểm
a, Ta có BMO = BNO = 900
=> OMBN là tứ giác nội tiếp
Trên BO lấy E sao cho BME = OMN
=>
BME
NMO
=>

=> BM . NO = BE . NM
Chứng minh tương tự BN. OM = OE .MN
Cộng theo từng vế BM .ON +BN . ON = MN . BO
b. Đặt a , b , c là độ dài các cạnh BC , AC , AB của
ABC
theo câu a ta có d1.
+ d2
= R .

áp dụng câu a đối với các tứ giác OMAP , ONCD ta có
d1.
+ d3.
= R.

d3 .
+ d2 .
= R.

Cộng theo từng vế :

. ( a+b+c) =
. ( d1b + d2b + d3c + d3a + d1a + d2c)
mặt khác SABC =
. ( a+