đề và đáp án HSG TP HCM07-08

Sở Giáo dục - Đào tạo
TP.Hồ Chí Minh
KỲ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 9-THCS CẤP THÀNH PHỐ
Năm học 2007 – 2008 MÔN TOÁN
Thời gian làm bài : 150 phút (không kể thời gian phát đề)
ĐỀ CHÍNH THỨC
Câu 1: (4 điểm) Cho phương trình : ( là ẩn số)
Định để phương trình trên có hai ngiệm phân biệt đều âm.
Gọi là hai nghiệm của phương trình trên.
Định để A= đạt giá trị nhỏ nhất.

Câu 2 : (4 điểm)
a) Cho a, b, c, d là các dương. Chứng minh:

b) Cho
. Chứng minh :

Câu 3 : (4 điểm)
Giải các phương trình :
a
b
c

Câu 4 : (2 điểm)
Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên thì không chia hết cho 9.

Câu 5 : (4 điểm)
Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp trong đường tròn (O) và có trực tâm là H.
Xác định vị trí của điểm M cung BC không chứa điểm A sao cho tứ giác BHCM là một hình bình hành.
Lấy M là điểm bất kỳ trên cung BC không chứa A. Gọi N và E lần lượt là các điểm đối xứng của M qua AB và AC. Chứng minh ba điểm N , H , E thẳng hàng.

Câu 6 : (2 điểm)
Cho tứ giác ABCD có O là giao điểm hai đường chéo và diện tích tam giác AOB bằng 4 , diện tích tam giác COD bằng 9. Tìm giá trị nhỏ nhất của diện tích tứ giác ABCD.

HẾT

ĐÁP ÁN
Câu 1: (4 điểm) Cho phương trình : ( là ẩn số)
Định để phương trình trên có hai ngiệm phân biệt đều âm.
Gọi là hai nghiệm của phương trình trên.
Định để A= đạt giá trị nhỏ nhất.
Giải:
a

v
Để hai nghiệm phân biệt đều âm thì

b)Ta có A= =
A đạt GTNN là khi

Câu 2 : (4 điểm)
a) Cho a, b, c, d là các dương. Chứng minh:

b) Cho
. Chứng minh :

Giải :
a) Ta có : ( với a, b, c, d là các số dương)

Cộng bốn BĐT trên ta được :

Ta lại có :

và

Từ đó ta có đpcm.

b)Ta có
Suy ra : ( 1)
Tương tự : (2)
Cộng (1) và (2) ta có đpcm.

Câu 3 : (4 điểm)
Giải các phương trình :
a
b
c
Giải:

a)
Đặt ta có phương trình :
Với
Với

b)
Đặt
Đặt
Ta có hệ phương trình:
Từ đó ta tìm được nghiệm x = 4

c) ( Điều kiện :
Ta thấy không thỏa nên ta chia hai vế cho

Xét vế phải : và dấu bằng xảy ra khi x = 1.
Ta có :
Suy ra vế trài : và dấu bằng xảy ra khi x = 0.
Vậy hai vế không bằng nhau. Phương trình đã cho vô nghiệm.


Câu 4 : (2 điểm)
Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên thì không chia hết cho 9.
Giải:
Giả sử chia hết cho 9 thì ta có :

( 1)

Ta thấy chia hết cho 3 và không chia hết cho 9 nên không là số chính phương, do vậy phương trình (1) trên không thể có nghiệm nguyên.
Vậy không chia hết cho 9. ( đpcm)

Câu 5 :
Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp trong đường tròn (O) và có trực tâm là H.
a)Xác định vị trí của điểm M cung BC không chứa điểm A sao cho tứ giác BHCM là một hình bình hành.
b)Lấy M là điểm bất kỳ trên cung BC không chứa A. Gọi N và E lần lượt là các điểm đối xứng của M qua AB và AC. Chứng minh ba điểm N , H , E thẳng hàng