De va dap an HSG toan 9

Trường THCS Nga Thái đề thi học sinh giỏi toán 9
năm học: 2006 – 2007
Môn: toán
(Thời gian: 150 phút - không kể thời gian giao đề)

Bài 1. (2,0 đ)
Cho biểu thức P =
Tìm x để biểu thức có nghĩa.
Rút gọn biểu thức P.
Tìm GTLN của P.
Bài 2. (2,0 đ)
Giải hệ phương trình:
Giả sử phương trình: (m – 4)x2 – 2(m – 2) x + m – 1 = 0 có hai nghiệm.
Tìm hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm độc lập với m.
Bài 3. (1,5 đ) Tìm a để hai đường thẳng y = (a2 + 4) x + a và y = 5ax + 4 song song với nhau.
Bài 4. (3,5đ) Cho nửa đường tròn (O), đường kính AB và tia tiếp tuyến Bx của nửa đường. Trên tia Bx lấy 2 điểm C, D (C: nằm giữa B và D). Các tia AC và AD lần lượt cắt đường tròn tại E và F; hai dây AE và BF cắt nhau tại M. Hai tia AF và BE cắt nhau tại N. Chứng minh rằng:
MN // Bx.
Tứ giác CDFE nội tiếp được.
Bài 5 (1,0 đ): Cho 3 số x, y, z thoả mãn x + y + z + xy + yz + zx = 6.
Chứng minh rằng : x2 + y2 + z2 ( 3


Bài
Nội dung
Điểm

Bài 1

2,0 đ


Câu 1
0,5



ĐK: <=>


0,5


Câu 2
1,0


P =
= :
=
0,25


0,25

0,25


Vậy P =
0,25


Câu 3
0,5


Ta có <=>
<=> <=> x = 0
Vậy Pmax= 1 khi x = 0
0,25



0,25

Bài 2

2,0


Câu1
1,0


Biến đổi hệ về dạng:
Từ (2) => y = 5x + 7 (3). Thay vào (1) ta được:
2x + 3(5x+7) = 4 <=> 17x = - 17 <=> x = -1
Thay x = -1 vào (3) ta được y = 5(-1) + 7 = 2
Vậy hệ đã cho có nghiệm (-1; 2)
0,25

0,25

0,25
0,25


Câu 2

1,0


Giả sử x1, x2 là hai nghiệm của phương trình:
(m – 4) x2 – 2(m – 2)x + m -1 = 0
Theo định lý Viet ta có :



0,25


<=> <=>
<=> 3(x1 + x2) – 4x1x2 = 2
Vậy hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm x1, x2 của phương trình đã cho không phụ thuộc m là: 3(x1 + x2) – 4x1x2 = 2

0,25


0,25

0,25

Bài 3

1,5


Để hai đường thẳng đã cho song song với nhau,
phải có:
<=> <=> <=> a = 1
Vậy yêu cầu bài toán được thoả mãn khi a = 1

0,5



0,5

0,5

Bài 4

3,5


Câu 1













1,5


Trong tam giác ABN ta có:
AEB = 900 (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)
<=> AE ( BN (1)


0,25


AFB = 900 (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)
<=>