De va dap an HSG toan 9

Sở gd & đt Thanh hoá đề thi học sinh giỏi 9
Trường thcs nga thái Môn : Toán
Nga Sơn Thời gian : 150 phút không kể thời gian giao đề


Câu 1 : ( 2đ )
a) Rút gọn biểu thức :
A=
b) Phân tích thành nhân tử biểu thức :
B = x4 + 4
Câu 2 : ( 2đ )
Cho phương trình x2 – ( 2m + 1 ) x + m + 2 = 0
a)Giải phương trình khi m = - 2
b) Gọi , là các nghiệm của phương trình trên . Tìm m để
A = đạt giá trị nhỏ nhất .
Câu 3 : ( 2đ )
Cho A( m ; 9 ) , B( 2 ; m2 ) . hãy xác định parabol dạng y = ax2 biết
parabol đó đi qua A và B
Câu 4 : ( 3đ )
Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB = 2R . M là một điểm tuỳ ý
trên nửa đường tròn ( M khác A và B ) . Kẻ hai tiếp tuyến Ax và By với
nửa đường tròn . Qua M kẻ tiếp tuyến thứ 3 lần lượt cắt Ax và By tại C
và D .
a)Chứng minh CD = AC + BD , góc COD vuông
b)OC cắt AM tại E , OD cắt BM tại F . Chứng minh EF = R
c)Tìm vị trí điểm M để tứ giác ABCD có diện tích nhỏ nhất .

Câu 5 : ( 2đ ) Chứng minh rằng với mọi số thực a , b ta có :
a2 + b2 + 1 ≥ ab + a + b

Thời gian : 150 phút
Môn : toán


Nội dung
Điểm

Bài 1 : ( 2 đ )
a) (1đ) : Rút gọn biẻu thức
A =

Điều kiện có nghĩa là 2x-4 ≥ 0
<=> x ≥ 2
A =

=

= |
| + |
|
=

=

b) ( 1đ )
Phân tích thành nhân tử :
B = x4 + 4 = x4 + 4x2 + 4 – 4x2
=( x2 + 2 )2 – 4x2
= (x2 – 2x + 2 )( x2 + 2x + 2 )



0,25đ


0,25đ
0,25đ




0,25đ


0,25đ
0,25đ
0,5d

Câu 2 : ( 2đ )
a) Giải phơng trình khi m = -2 ( 1 đ )
m = -2 phơng trình trở thành : x2 + 3x – 4 = 0
Do a + b + c = 0 nên phơng trình có nghiệm :
x1 = 1 và x2 = -4
b) ( 1 đ )
Để phơng trình có nghiệm thì ∆ ≥ 0
Ta có ∆ = ( 2m + 1 ) 2 – 4 ( m – 2 ) = 4m2 + 9 ≥ 0
m
Khi đó phơng trình có nghiệm x1 , x2 . Theo địng lí Vi ét ta có :


Ta cã A =
= ( x1 + x2 )2 – 2x1x2
= ( 2m + 1 ) 2 – 2( m – 2 )
= 4m2 + 4m + 1 – 2m +4
= 4m2 + 2m + 5
= 4m2 + 2m +
+

= ( 2m + 1/2 )2 +
≥

Vậy AMin =
khi 2m + 1 = 0 => m = -




0,25
0,5
0,25


0,25

0,25





0,25đ



0,25đ

Câu 3 : ( 1,5đ )
Parabol đi qua A(m;9) nên:
9 = am2 (1)
Parabol qua B(2;m2) nên