De va dap an HSG toan 9

Sở GD&ĐT Thanh hóa
Trường thcs nga thái
--------o0o-------
đề xuất ngân hàng đề
Đề thi học sinh giỏi 9 – Môn Toán
----------------o0o--------------

Câu 1: (2 điểm) Cho biểu thức:
a) Rút gọn biểu thức P.
b) Tìm giá trị nhỏ nhất của P.
Câu 2: (2,5 điểm) Cho phương trình: x2 – 2(m – 1)x + 2m – 4 = 0.
a) Giải phương trình khi m = 2.
b) Chứng minh phương trình luôn có 2 nghiệm phân biệt với mọi m.
c) Gọi x1 và x2 là 2 nghiệm của phương trình. Tìm m để x12 + x22 = 4.
Câu 3: (1,5 điểm) Tìm 2 số a và b sao cho đường thẳng y = ax + b đi qua điểm M(2; 4) và điểm N(5; 2).
Câu 4: (3 điểm) Cho góc vuông xOy và 2 điểm A, B trên cạnh Ox (A nằm giữa O và B). Điểm M bất kỳ trên cạnh Oy. Đường tròn (T) đường kính AB cắt tia MA và MB lần lượt tại điểm thứ 2 là C và E. Tia OE cắt đường tròn tại điểm thứ 2 là F
a) Chứng minh tứ giác OAEM nội tiếp trong một đường tròn. Tìm tâm đường tròn đó?
b) Tứ giác OMFC là hình gì? Tại sao?
c) Chứng minh hệ thức: OE.OF + BE.BM = OB2.
Câu 5: (1 điểm) Cho xy = 2 và x > y. Chứng minh:
-------------------------------------------Hết-------------------------------------------------




Sở GD&ĐT Thanh hóa
Trờng thcs nga thái
--------o0o-------
đề xuất ngân hàng đề
Đáp án đề thi học sinh giỏi 9 – Môn Toán
----------------o0o--------------

Chú ý: + Đáp án gồm 2 trang.
+Nếu thí sinh làm cách khác với đáp án mà kết quả đúng thì cho điểm tối đa.

Câu
ý
Nội dung
điểm

1
1a
- Điều kiện để P có nghĩa là:
.
-



Vậy
.

0,50


0,50

0,50


1b
 Theo câu a ta có
.
Dấu bằng xảy ra khi
.
Vậy
.

0,25



0,25



2
2a
Khi m = 2 ta có phơng trình: x2 – x = 0
.
Vậy khi m = 2 thì phơng trình có 2 nghiệm là x=0 và x=1.
0,75

0,25


2b
 Phơng trình đã cho là phơng trình bậc 2 có:
(’ = (m–1)2 – (2m–4) = m2 – 4m + 5 = (m–2)2 + 1 > 0 (m.
Vậy phơng trình đã cho luôn có 2 nghiệm phân biệt với mọi m.

0,25


2c
 Theo định lý Viét ta có:

Do đó: 4 = x12 + x22 = (x1 + x2)2 – 2x1x2
( 4(m–1)2 –2(2m–4) = 4 ( 4m2 – 12m + 8 = 0

Vậy các giá trị cần tìm của m là m= 1 và m = 2.

0,25
0,25

0,25

0,25



3

 Đờng thẳng y = ax + b đi qua M(2; 4) nên 2a + b = 4.
Đờng thẳng y = ax + b đi qua N(5; 2) nên 5a + b = 2.
Vậy ta có hệ phơng trình:
.
0,50
0,50