De va dap an HSG huyen

Phòng GD-ĐT nga Sơn kỳ thi chọn học sinh giỏi toán 9 (đề số 3)
năm học : 2008 - 2009
Môn : Toán
(Thời gian làm bài: 150 phút: Vòng 2)

Bài 1 ( 3,0 điểm)
Cho các số dương: a; b và x Xét biểu thức P =
Chứng minh P xác định. Rút gọn P.
Khi a và b thay đổi, hãy tìm giá trị nhỏ nhất của P.
Bài 2 (3,0 điểm)
Tìm x; y; z thoả mãn hệ sau:

Bài 3 ( 3,0 điểm)
Với mỗi số nguyên dương n ≤ 2008, đặt Sn = an +bn , với a b
Chứng minh rằng với n ≥ 1, ta có Sn + 2 = (a + b)( an + 1 + bn + 1) – ab(an + bn)
Chứng minh rằng với mọi n thoả mãn điều kiện đề bài, Sn là số nguyên.
Chứng minh Sn – 2 = Tìm tất cả các số n để Sn – 2 là số chính phương.
Bài 4 (5,0 điểm)
Cho đoạn thẳng AB và điểm E nằm giữa điểm A và điểm B sao cho AE < BE. Vẽ đường tròn (O1) đường kính AE và đường tròn (O2) đường kính BE. Vẽ tiếp tuyến chung ngoài MN của hai đường tròn trên, với M là tiếp điểm thuộc (O1) và N là tiếp điểm thuộc (O2).
Gọi F là giao điểm của các đường thẳng AM và BN. Chứng minh rằng đường thẳng EF vuông góc với đường thẳng AB.
Với AB = 18 cm và AE = 6 cm, vẽ đường tròn (O) đường kính AB. Đường thẳng MN cắt đường tròn (O) ở C và D, sao cho điểm C thuộc cung nhỏ AD. Tính độ dài đoạn thẳng CD.
Bài 5: (4đ): Cho (ABC đường thẳng d cắt AB và AC và trung tuyến AM theo thứ tự . Là E , F , N .
a) Chứng minh :

b) Giả sử đường thẳng d // BC. Trên tia đối của tia FB lấy điểm K, đường thẳng KN cắt AB tại P đường thẳng KM cắt AC tại Q.
Chứng minh PQ//BC.
Bài 6: (2 điểm)
Cho 0 < a, b,c <1 .chứng minh rằng :

------------- Hết-------------



hướng dẫn chấm: Đề số 3
Câu 1. (3,0 điểm)
Tóm tắt lời giải
Điểm

(2.0 điểm)
Ta có: a; b; x > 0 a + x > 0 (1)
Xét a – x (2)
Ta có a + x > a – x ≥ 0 (3)
Từ (1); (2); (3) P xác định
Rút gọn:
Ta có: a + x
a - x
P =
Nếu 0 < b < 1 P
Nếu bP =
2. (1.0 điểm)
Xét 2 trường hợp:
Nếu 0 < b < 1, a dương tuỳ ý thì P P
Nếu ba dương tuỳ ý thì P =
Ta có: dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi b = 1
Mặt khác: dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi b = 1
Vậy P dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi b = 1
KL: Giá trị nhỏ nhất của P
0,25

0,25


0,25


0,25


0,25



0,25



0,25


0,25







0,25

0,25





0,25