De va DA Toan TS lop 10 cua Dai hoc KHTN 2012

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI ĐỀ THI TUYỂN SINH LỚP 10
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN HỆ THPT CHUYÊN NĂM 2012




MÔN THI: TOÁN (cho tất cả các thí sinh)
Thời gian làm bài: 120 phút (Không kể thời gian phát đề)

Câu I. 1) Giải phương trình


2)Giải hệ phương trình


Câu II. 1) Tìm tất cả các cặp số nguyên 
 thỏa mãn đẳng thức:


2) Giả sử x, y la các số thực dương thỏa mãn điêu kiện

Tim giá trị nhỏ nhất của biểu thức :

Câu III.Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn tâm O .Gọi M là một điểm trên cung nhỏ BC ( M khác B,C và AM không đi qua O).Giả sử P là một điểm thuộc đoạn thẳng AM sao cho đường tròn đường kính MP cắt cung nhỏ BC tại điểm N khác M.
1)Gọi D là điểm đối xứng với điểm M qua O .Chứng minh rằng N,P,D thẳng hàng
2)Đường tròn đường kính MP cắt MD tại Q khác M.Chứng minh rằng P là tâm đườn tròn nội tiếp tam giác AQN.
Câu IV. Giả sử a,b,c là các số thực dương thỏa mãn
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:













Hướng dẫn
Câu 1
ĐK : x ≥ -6


(

(

x = -5 ; x = 4048135
b)

từ (2) => (x+1)(y+2)=6
ta có bảng sau
X+1
-6
-3
-2
-1
1
2
3
6

X
-7
-4
-3
-2
0
1
2
5

Y+2
-1
-2
-3
-6
6
3
2
1

Y
-3
-4
-5
-8
4
1
0
-1


Lần lượt thay các cặp (x;y) ở bảng trên vào pt (1) ta dược
(1 ; 1) và (2 ; 0) là nghiệm của hệ
Câu 2
(1)

(
(

( (I)
hoặc (II)

Hoặc (III)
hoặc (IV)

Giải các hệ pt trên ta thấy hệ (II) có nghiệm (x;y) =(-1;-1)
các hpt I; III; IV không thỏa mãn (x;y) nguyên.
Vậy có duy nhất cặp số (x;y) =(-1;-1) thỏa mãn đề bài

(2)
Ta có


(

P=

GTNN của P=2 ( x=y=1

Câu 3





Có DNM=90 =PNM => D; P; N thẳng hàng

b)Có MNPQ nt => NPM=NQM
MNAD nt =>NAM=NDM
Mà NPM=NAM+PNA
NQM=NDM+QND
PNA=QND => NP là phân giác QAN (1)
Có PAD=PQD=90 => PQDA nt
QAP=PQD
Mà QDP=MAN (cùng chắn cung MN của (O) )
ANP=PAQ => PA là phân giác QAN (2)
Từ 1;2 => P là tâm đường tròn nội tiếp tam giác AQN.