De và ĐA thi vao 10(2011)

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ THI CHUYÊN LAM SƠN vòng 1
THANH HÓA (2010-2011)
(Thời gian 120’ không kể giao đề)

Câu 1: (2.0 điểm)
Cho biểu thức:


1. Rút gọn biểu thức A.
2. Tìm x sao cho A < 2.
Câu 2: (2.0 điểm)
Cho x1; x2 là 2 nghiệm của pt: x2 - 7x + 3 = 0.
1. Lập phương trình có hai nghiệm là 2x1 - x2 và 2x2 - x1
2. Tính giá trị của B = |2x1 - x2 | + |2x2 - x1|.
Câu 3 : (1.5 điểm)
Giải hệ phương trình :

Câu 4 : (3.5 điểm)
Cho hình vuông ABCD. Trên đường chéo BD lấy điểm I sao cho BI = BA. Đường thẳng qua I vuông góc với BD cắt AD tại E và AI cắt BE tại H.
1. Chứng minh rằng AE = ID.
2. Đường tròn tâm E bán kính EA cắt AD tại điểm thứ hai F (F ( A).
Chứng minh rằng: DF . DA = EH . EB
Câu 5: (1.0 điểm)
Cho tam giác ABC có độ dài ba cạnh là: BC = a, CA = b, AB = c và chu vi tam giác là 2P. Chứng minh rằng:


…Hết…
HƯỚNG DẪN GIẢI
Câu 1: (2.0 điểm)
Cho biểu thức:


1. Rút gọn biểu thức A.ĐK: x ( 4, x ( 0, x ( 0 ⇒ x > 0, x ( 4


2. Tìm x sao cho A < 2.
A < 2
Kết hợp với đk:
hoặc

Câu 2: (2.0 điểm)
Cho x1; x2 là 2 nghiệm của pt: x2 - 7x + 3 = 0.
1. Lập phương trình có hai nghiệm là 2x1 - x2 và 2x2 - x1
Ap dụng định lí Viet đảo pt nhân hai nghiệm 2x1 - x2 và 2x2 - x1 là:
X2 - SX + P = 0
Với S = 2x1 - x2 + 2x2 - x1 = x1 + x2 = 7
P = (2x1 - x2)(2x2 - x1) = 5x1x2- 2[(x1+x2)2 -2x1x2]
= 9x1x2 - 2(x1+x2)2 = 9.3 - 2. 49 = -71
⇒ pt: X2 - 7X -71 = 0
2. Tính giá trị của B = |2x1 - x2 | + |2x2 - x1|.
B = |2x1 - x2 | + |2x2 - x1| = |X1| + |X2| ( 0
B2 = X12 + X22 + 2| X1 X2| = (X1 + X2)2 - 2 X1 X2 + 2| X1 X2|
Thay số: B2 = 72 - 2(-71) + 2|-71| = 333 mà B ( 0


Câu 3 : (1.5 điểm)
Giải hệ phương trình :
ĐK : x ( ( 2y
Đặt
ta có hệ :


(t/m đk)
Câu 4 : (3.5 điểm)
Cho hình vuông ABCD. Trên đường chéo BD lấy điểm I sao cho BI = BA. Đường thẳng qua I vuông góc với BD cắt AD tại E và AI cắt BE tại H.
1. Chứng minh rằng AE = ID.
2. Đường tròn tâm E bán kính EA cắt AD tại điểm thứ hai F (F ( A).
Chứng minh rằng: DF . DA = EH . EB


a, (ABE = (IBE (cạnh huyền, cạnh góc vuông)
⇒ AE = IB (đ/n)
(EID vuông cân ⇒ IE = IE
⇒ AE = IE (đpcm)
b, DI2 = DF.DA
EI2 = EH.EB
⇒ DF.DA = EH.EB (đpcm)

Câu 5*: (1.0 điểm)
Cho tam giác ABC có độ dài ba cạnh là: BC = a, CA = b, AB = c và chu vi tam giác là 2P. Chứng minh rằng:

* Cm bđt:
với x > 0, y > 0
Ta có (x - y)2 ( 0 (x,y ⇔ x2 + y2 -2xy ( 0 ⇔ (x + y)2 ( 4xy

với (x ; y.
* Áp dụng :


(Áp dụng Bunhacopski)
Dấu bằng xảy ra ⇔ a2 = b2 = c2 ⇔ a = b = c