De va DA thi thu vao lop 10-De so 8

Đề TK tuyển sinh lớp 10-Đề số 8

Bài 1 : (4 điểm)
1/Cho x,y thoả mãn
. Tính
.
2/ Tính
Bài 2: ( 3điểm): Tìm tất số tự nhiên n sao cho số 28 + 211 + 2n là số chính phương .
Bài 3 ( 3 điểm): Cho a,b,c là các số thực dương. Chứng minh rằng:


Bài 4: ( 3 điểm)
Chứng minh rằng : Với mọi số nguyên dương n, ta có
25n4 + 50n3 – n2 – 2n chia hết cho 24.
Bài 5: (3điểm) Bài 3: Gọi a, b, c là số đo ba cạnh một tam giác, cho biết:
a3 + b3 + c3 - 3abc = 0
Hỏi: Tam giác này là tam giác gì?
Bài 6: (4 điểm)
a/ Cho tam giác Abc vuông tại A, đường cao AH =
; BC = 5a. Tính hai cạnh góc vuông theo a.
b/ Cho tam giác ABC có các góc đều nhọn. Gọi AH, BI,CK là các đường cao của tam giác.
Chứng minh rằng


ĐÁP ÁN
Câu
Đáp án
Điểm

1
(4đ)
1/ Từ:


.
Vì
.Nên

Ta có :
.
2
Với
, ta có
Áp dụng vào bài toán ta có :

0,25

0,5
0,25
0,25
0,75





1


1

2
(3 đ)
Giả sử 28 + 211 + 2n = a2 (a
N) thì
2n = a2 – 482 = (a+48)(a-48)
2p.2q = (a+48)(a-48) Với p, q
N ; p+q = n và p > q

a+48 = 2p
2p – 2q = 96
2q (2p-q -1) = 25.3
48 = 2q

q = 5 và p-q = 2
p = 7

n = 5+7 = 12
Thử lại ta có: 28 + 211 + 2n = 802

0,5

0,5
0,5
0,75

0,25
0,25
0,25


3
(3 đ)
Sử dụng hệ quả bất đẳng thức Bunyakovsky, ta có :


Ta cần chứng minh:



Bất đẳng thức đúng vì theo bất đẳng thức Cauchy


Đẳng thức xảy ra
a=b=c.

1



1




1





4
(3đ)
 25n4 + 50n3 – n2 – 2n
= n( 25n3 + 50 n2 – n – 2 )
= n( n + 2 )( 25n2 – 1 )
= n( n + 2 )24n2 + n( n + 2 )( n2 – 1 )
= 24n3( n + 2 ) + ( n – 1 ). n( n + 1 )( n + 2 )
Biểu thức cuối cùng này có số hạng thứ nhất chia hết cho 24. Còn số hạng thứ hai có là tích của 4 số nguyên liên tiếp nên chia hết cho 1. 2. 3. 4 = 24


0,5
0,5

0,75
0,75

0,5

5
( 3đ)
 a3 + b3 + c3 - 3abc = 0
a + b)3 -3ab (a + b) + c3 - 3abc = 0
(a + b + c)


Vì a + b + c > 0 nên a2 + b2 + c2 - ab - bc - ac = 0

a - b = 0 a = b
b - c = 0 b = c
a - c = 0 a = c
Do a = b = c nên tam giác này là tam giác đều.


0,25
0,5

0,5

0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25




0,25

6
(4đ)
a/ Đặt AB =x ; AC =y (x,y>0 )

ABC vuông tại A, ta có AB.AC =AH.BC
x.y =
(1)
BC2 = AB2 +