đề và ĐA thi HSG Toán 8 - 2011

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
HUYỆN CAO LỘC
ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI
CẤP HUYỆN
NĂM HỌC: 2010 - 2011






MÔN TOÁN - LỚP 8
Ngày thi: 15/01/2010
Thời gian : 150 phút
( không kể thời gian giao đề )

Câu 1 (4 điểm): Phân tích thành nhân tử:
a) a8 + a4 + 1
b) (x - y)3 +(y - z)3 + (z - x)3
Câu 2 (4 điểm): Cho biểu thức:

a) Rút gọn Q.
b) Tính giá trị của Q biết:

c) Tìm giá trị nguyên của x để Q có giá trị nguyên.
Câu 3 (3 điểm):
Cho
ABC; AB = 3AC. Tính tỷ số đường cao xuất phát từ B và C.
Giải phương trình:

Câu 4 (6 điểm): Gọi H là trực tâm của tam giác đều ABC, đường cao AD. Lấy điểm M bất kì thuộc cạnh BC. Gọi E, F theo thứ tự là hình chiếu của M trên AB, AC. Gọi I là trung điểm của AM.
Xác định dạng của tứ giác DEIF.
Chứng minh rằng các đường thẳng MH, ID, EF đồng quy.
Câu 5 (3 điểm): Chứng minh rằng với mọi số nguyên x, y thì
A = (x + y)(x + 2y)(x + 3y)(x + 4y) + y4 là số chính phương.


-----HẾT-----




Họ và tên thí sinh................................................... Số báo danh..................................
Lưu ý: Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.
PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
HUYỆN CAO LỘC
------------------------------------
HƯỚNG DẪN CHẤM
BÀI THI CHỌN HSG CẤP HUYỆN
NĂM HỌC 2010-2011
Môn thi: Toán 8
(Đáp án - thang điểm gồm có 02 trang)




Đáp án
Điểm

Câu 1
(4 đ)
a) a8 + 2a4 + 1 - a4 = (a4 + 1)2 - (a2)2
= (a4 - a2 + 1)(a4 + a2 + 1)
=[(a2 + 1)2 - 3a2].[(a2 + 1) - a2]
=

0,5 đ
0,5 đ
0,5 đ
0,5 đ


b) (x - y)3 +(y - z)3 + (z - x)3 = 3x2z - 3x2y + 3xy2 - 3xz2 + 3yz2 - 3y2z
= 3x2(z - y) - 3x(z2 - y2) + 3yz(z - y)
= 3(x - y)(y - z)(z - x)
0,5 đ
0,5 đ
1 đ

Câu 2
(4 đ)
a) ĐKXĐ: x (-1; x ( 0; x ( 2


Vậy

0,5 đ




0,5 đ


1 đ


b) Ta có:

Với
. Vậy Q = -3


0,5 đ



0,5 đ


c) Ta có

Để Q có giá trị nguyên thì
nguyên
nên

Vậy x = -3; x =-2; x = 1



0,5 đ




0,5 đ


Câu 3
(3 đ)
a) Gọi BD, CE lần lượt là các đường cao xuất phát từ đỉnh B và C.
Ta có:
;



Vậy

b)




0,5 đ




1 đ





0,5 đ

0,5 đ


0,5 đ

Câu 4
(6 đ)
 - Vẽ hình đúng.
a) Ta có:
(trung tuyến ứng với cạnh huyền).
Áp dụng t/c góc ngoài của tam giác tính được:


Xét (IED có IE=ID,
(cmt)
( (IED là tam giác đều. (1)
C/m tương tự, (IDF đều (2)
Từ (1) và (2) ( Tứ giác DEIF là hình thoi.
b) Gọi O là giao điểm của ID và EF, K là trung điểm của AH.
Ta có: IK//MH (t/c đường trung bình)
OH//IK (t/c đường trung bình)
( M, O, H thẳng hàng (theo tiên đề Ơclid)
Vậy MH, ID, EF đồng qui tại O.
0,5 đ

0,5