De va DA thi HSG lop 9-Thanh Chuong

PHÒNG GD & ĐT THANH CHƯƠNG ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN VÀ
CHỌN ĐỘI TUYỂN DỰ THI HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH.
NĂM HỌC: 2010 – 2011. Môn thi: TOÁN 9
Thời gian làm bài: 150 phút

Câu 1. Giải phương trình




Câu 2. Cho đường thẳng (d) có phương trình:
, với
tham số

.
Tìm điểm cố định mà đường thẳng (d) luôn đi qua.
b. Xác định giá trị tham số m để khoảng cách từ gốc toạ độ O đến đường thẳng (d) là lớn nhất.
Câu 3.
Cho B =
; B là một số gồm n chữ số 1, n + 1 chữ số 2 và một chữ số 5. Chứng minh B là số chính phương.
Cho
là số nguyên tố;
. Chứng minh rằng nếu
là số nguyên tố thì:
là hợp số.
Chứng minh không tồn tại cặp giá trị nguyên
thỏa mãn:

Cho
và
, chứng minh:

Câu 4. Cho đường tròn (O) và điểm P nằm ngoài đường tròn. Từ P kẻ 2 tiếp tuyến PA, PB với đường tròn (O), (A, B là các tiếp điểm); OP cắt AB tại M. Qua M kẻ dây cung CD của đường tròn (O), (CD khác AB và CD không đi qua O). Hai tiếp tuyến của (O) tại C và D cắt nhau ở Q. Chứng minh:
a) AB < CD ; b) PQ vuông góc với PO tại P.
Câu 5. Cho đường thẳng xy; đường tròn (O) và một điểm A nằm trên đừơng tròn (O), xy không cắt (O). Dựng đường tròn tâm K tiếp xúc với (O) tại A và tiếp xúc với đường thẳng xy. (Chỉ trình bày cách dựng và biện luận)
Hết./.
PHÒNG GD & ĐT THANH CHƯƠNG HD CHẤM ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN VÀ
CHỌN ĐỘI TUYỂN DỰ THI HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH.
NĂM HỌC: 2010 – 2011.Môn thi: TOÁN 9
Thời gian: 150 phút( không kể thời gian giao đề)
Câu
Ý
Nội dung cần đạt
Điểm

1
a

, Điều kiện:

HS biến đổi:

, Dấu “=” xẩy ra khi


, Dấu “=” xẩy ra khi

Vậy nghiệm:
thỏa mãn điều kiện

0,25


0,25

0,25
1,75


b

, ĐK:

Nhân 2 vế với :
và biến đổi đưa về hệ PT:


Đối chiếu điều kiện:
thỏa mãn.
0,25



0,5


0,25


2
a
(d) :
; với
tham số,

Gọi
là điểm cố định (d) luôn đi qua: Thay vào PT của (d) ta có:

, Với mọi m
,






0,5


0,5
1,75


b
Nhận thấy (d) không đi qua O
Tìm được tọa độ giao điểm A của đồ thị hàm số với trục Ox: A

Giao điểm B của đồ thị hàm số với trục Oy: B

Ta có:
AOB vuông tại O và có khoảng cách từ O đến (d) là OH (đường cao) nên:
Hay




; Dấu “=” xẩy ra
.
Xét
; K/c từ O đến (d) bằng 2
. Vậy





0,25



0,25




0,25


3
a
B =




vì (
)
Nên B là số chính phương


0,25




0,25
2,0


b

là số nguyên tố;
nên
lẻ và
không chia hết cho 3
chẵn
;
chia cho 3 dư 1 hoặc 2
HS lập luận để chứng tỏ
là hợp số.
0,2

0,3




c


lẻ, đặt
thay vào ta có:
(1)
chẵn,

Thay
vào (1) và biến đổi:

Xét thấy VT của (2) luôn chẵn; VP của (2) là số lẻ vì k(k+1) chẵn (Tích 2 số nguyên liên tiếp). Vậy dấu “=” của (2) không thể xẩy ra
Không tồn tại cặp số nguyên (x; y) thỏa mãn:




0,25


0,25



d

; xét

Chứng minh tương tự:
;
Cộng vế theo vế ta có