De va DA thi HSG lop 9-De so 6

ĐỀ THI HSG KHỐI 9 SỐ 6

Bài 1 : (3 điểm) Tìm tất cả các số nguyên tố p để 4p2 +1 và 6p2+1 cũng là số nguyên tố.
Bài 2 (5 điểm)
a) Cho
CMR: x=y hoặc y = z hoặc x =z hoặc x2y2z2=1.
b) Cho abc = 1 và a + b + c =
.
Tính giá trị của M = (a2010 -1)(b2010-1 )(c2010-1).
Bài 3( 5điểm)
a) Cho a, b là các số thực dương: Chứng minh


b) Cho a , b là các số dương thỏa
. Chứng minh

Bài4 ( 3 điểm ) Cho tam giác ABC có các đường trung tuyến BM và CN vuông góc với nhau. Chứng minh rằng:

Bài 5 : (4 điểm)
Cho hình vuông ABCD có cạnh bằng 1. Trên cạnh BC lấy điểm M, trên cạnh CD lấy điểm N sao cho góc MAN = 450. Xác định vị trí cuả M, N để diện tích tam giác CMN đạt giá trị lớn nhất
ĐÁP ÁN
Câu 1 (3đ)
Nhận xét: p là số nguyên tố thì 4p2+ 1 > 5 và 6p2+ 1 > 5 (0.5 đ)
Đặt x = 4p2+ 1 = 5p2- (p - 1)(p + 1)
y = 6p2+ 1 suy ra 4y = 25p2– (p - 2)(p + 2) (0.5 đ)
Khi đó:
- Nếu p chia cho 5 dư 4 hoặc dư 1 thì (p - 1)(p + 1) chia hết cho 5
Suy ra x chia hết cho 5 mà x > 5 suy ra x không là số nguyên tố (0.5 đ)
- nếu p chia cho 5 dư 3 hoặc dư 2 thì (p - 2)(p + 2) chia hết cho 5
Suy ra 4y chia hết cho mà UCLN(4, 5) = 1 suy ra y chia hết cho 5 mà y > 5
Suy ra y không là số nguyên tố (0.5 đ)
Vậy p chia hết cho 5, mà p là nguyên tố suy ra p = 5 (0.5 đ)
Thử p =5 thì x =101, y =151 là số nguyên tố
Đáp số p =5 (0.5 đ)
Bài 2 (5 đ)
a) (2.5 đ
Ta có :
=

x+

x-y =
=
(0.5đ)
Tương tự ta có: y-z=
; z-x =
(0.5 đ)
Suy ra (x-y)(y-z)(z-x) =
(0.5 đ)

(x-y)(y-z)(z-x)(x2y2z2-1) = 0 (0.5 đ)

x=y hoặc y=z hoặc z=ô hoặc x2y2z2=1. (ĐPCM). (0.5 đ)
b) (2.5 đ )
Vì : a + b + c =
nên suy ra a + b + c =
( 0,25 đ)
Suy ra a + b + c = ab + ac + bc (1) ( vì abc= 1 ) ( 0,25 đ
Vì abc = 1 nên abc – 1 = 0 (2) ( 0,25 đ)
Suy ra : abc – 1 + a + b + c – ab – ac – bc = 0 ( 0,25 đ)
( ( a – 1 ) ( b – 1 ) ( c – 1 ) = 0 ( 0,75 đ )
( a = 1 hoặc b = 1 hoặc c = 1 ( 0,25đ )
Thay a = 1 hoặc b =1 hoặc c = 1 thì M nhận giá trị bằng 0 ( 0,5 đ )
Câu 3: ( 5 điểm)
a ) (3,0 đ) Ta có :

a, b > 0 (0,5đ)

(0,5đ)


a , b > 0

(*) (0,5đ)
Mặt khác:
(**) (0,5đ)
Suy ra
(0,5đ)

(0,5đ)
b) (2.0 đ)



0, 5 đ

Ta có:


( đúng)


a+2b


( đúng)


0, 5 đ


Từ (1) và (