De va DA thi HSG lop 9-De so 4

ĐỀ THI HSG KHỐI 9 SỐ 4

Bài 1: ( 3,5 điểm)
Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n ta có:
A = 7.52n + 12.6n chia hết cho 19
Bài 2: ( 2,5 điểm)
Tìm số tự nhiên n sao cho: n + 24 và n – 65 là hai số chính phương
Bài 3: ( 3,0 điểm)
Cho a, b > 0 và a + b = 1.
Chứng minh rằng :

Bài 4: ( 3,0 điểm)
Cho x, y là hai số dương thỏa mãn : x2 + y2 = 4.
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức :

Bài 5: ( 4,0 điểm)
Cho tam giác ABC có D là trung điểm cạnh BC, điểm M nằm trên trung tuyến AD. Gọi I, K lần lượt là các trung điểm tương ứng của MB, MC và P, Q là các giao điểm tương ứng của các tia DI, DK với các cạnh AB, AC.
Chứng minh: PQ // IK.
Bài 6: ( 4,0 điểm)
Cho tam giác ABC có BC = a , CA = b , AB = c. Gọi đường cao hạ từ các đỉnh A,B,C xuống các cạnh BC , CA và AB tương ứng là ha , hb , hc . Gọi O là một điểm bất kỳ trong tam giác đó và khoảng cách từ O xuống ba cạnh BC , CA và AB tương ứng là x , y và z .
Tính



ĐÁP ÁN

Bài 1
(3,5đ)
Với n = 0 ta có A(0) = 19
19
Giả sử A chia hết cho 19 với n = k nghĩa là: A(k) = 7.52k + 12.6k
19
Ta phải chứng minh A chia hết cho 19 với n = k + 1 nghĩa là phải chứng minh:
A(k + 1) = 7.52(k + 1) + 12.6k + 1
19
Ta có: A(k + 1) = 7.52(k + 1) + 12.6k + 1
= 7.52k.52 + 12.6n. 6
= 7.52k.6 + 7.52k .19 + 12.6n. 6
= 6.A(k) + 7.52k .19
19
Vậy theo nguyên lý quy nạp thì A = 7.52n + 12.6n chia hết cho 19 với mọi số tự nhiên n
0,5
0,75
0,75



1,0
0,5

Bài 2
(2,5đ)


1

Ta có:






Vậy: n = 452 – 24 = 2001


0,5

0,5
0,5

0,5

0,5


Bài 3
(3,0đ)
Nhận xét rằng với mọi x,y ta có:


Đặt
ta được :


Vì

Do đó :






0,5


0,5


0,75

0,5


0,75

Bài 4
(3,0đ)
Ta có

Áp dụng BĐT:
vôùi a > 0; b > 0.
Ta có

Áp dụng BĐT:
vôùi a > 0; b > 0.
Ta có

Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức E = 9 . Dấu “=” xảy ra khi x = y =

0,5


1,0



1,0

0,5

Bài 5
(4,0đ)




- Vẽ hình đúng
- Gọi E là trung điểm của AM, chứng minh được:
IK // BC, EI // AB, EK // AC
- Áp dụng định lý Ta-lét vào các tam giác DPA, DAQ. Suy ra:


- Áp dụng định lý Ta-lét đảo vào tam giác DPQ, suy ra:
PQ // IK

0,5

1,5



1,5



0,5


Bài 6
(4,0đ)
Vẽ hình đúng









Xét hai tam giác ABC và OBC ta có :
SABC =
(1)
SOBC =
(2)
Từ (1)và (2) ta suy ra :

Tương tự ta có :

Từ đó tính