De va DA thi HSG lop 9-De so 2

ĐỀ THI HSG KHỐI 9 SỐ 2

Bài 1: (6 điểm)
a) Cho A = 12011 + 22011 + 32011 + … + 20102011
B =
Chứng minh A
B

b) Giải phương trình :
Bài 2: (4 điểm)
Chứng minh rằng nếu a>c>0 và b>c>0 thì :


Bài 3: (4 điểm)
Cho hai số x, y thoả mãn đẳng thức:
. Xác định x, y để tích xy đạt giá trị nhỏ nhất.

Bài 4 : (6 điểm)

Cho tam giác ABC có BC=a , CA=b , AB=c . Gọi đường cao hạ từ các đỉnh A,B,C xuống các cạnh BC , CA và AB tương ứng là ha , hb , hc . Gọi O là một điểm bất kỳ trong tam giác đó và khoảng cách từ O xuống ba cạnh BC , CA và AB tương ứng là x , y và z .
Tính
ĐÁP ÁN

Bài

Nội dung
Điểm

Bài 1:
6 điểm














a)
3,0đ
 B =
2B = 2010.2011
A = 12011 + 22011 + 32011 + … + 20102011

2A = (12011 + 20102011) + ………… + (20102011 + 12011 )
Các biểu thức trong dấu ngoặc đều chia hết cho 2011 nên 2A
2011 (1)
Lại có: 2A = … + 2.20102011
Các biểu thức trong dấu ngoặc đều chia hết cho 2010 nên 2A
2010 (2)
Vì 2010 và 2011 là hai số nguyên tố cùng nhau nên từ (1) và (2) suy ra
2A
2010.2011 = 2B
Vậy A
B





1,5đ



1,5đ


b)
3,0đ

Điều kiện :
Phương trình đã cho tương đương với : 1)
* Với x = 1 thì giá trị hai vế của (1) đều bằng 0 x = 1 là một nghiệm của (1)
* Với : thì vế trái của (1) có giá trị âm, còn vế phải có giá trị dương
Suy ra (1) không có nghiệm trong khoảng này .
* Với x > 1 : Vế trái có giá trị dương , vế phải có giá trị âm
Suy ra (1) không có nghiệm trong khoảng này
Vậy phương trình có nghiệm duy nhất là : x = 1 .


0,5đ
0,5đ

0.5đ


0,5đ

0.5đ
0.5đ


Bài 2:
4 điểm

Aùp dụng bất đẳng thức Bunhiacovski cho 2 bộ ta có :



2,0 đ

2,0 đ

Bài 3:
4 điểm


Do đó:
Đẳng thức xảy ra khi:

Vậy giá trị nhỏ nhất của xy là: - 0,5


1,5đ

1,0đ


1,0đ


0,5đ

Bài 4:
6 điểm

Vẽ hình đúng









Xét hai tam giác ABC và OBC ta có :
SABC = (1)
SOBC = (2)
Từ (1)và (2) ta suy ra :
Tương tự ta có :
Từ đó tính được : 1
1,0 đ











1,0 đ


1,0 đ

1,0 đ

1,0 đ

1,0 đ




Lưu ý chung: Mọi cách làm khác nếu đúng, hợp lệ và lập luận chặt chẽ vẫn được tính điểm tối đa theo biểu điểm của từng bài, từng câu.