De va DA thi HSG lop 9-De so 1

ĐỀ THI HSG KHỐI 9 SỐ 1

Câu 1 : (3.0 điểm). Chứng minh rằng :
a)
.
b)

Câu 2 : (3.0 điểm). Chứng minh rằng :


Từ đó suy ra rằng nếu

thì :

Câu 3 : (5.0 điểm)
a) Cho 0 < x < 2 , tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức :
A =

b) Cho a, b, c là ba số dương.
Chứng minh :

Câu 4: (2,5 điểm). Giải phương trình :
(

Câu 5 : (3.0 điểm).
Cho hình vuông ABCD cạnh a . Qua đỉnh A vẽ đường thẳng cắt cạnh  BC ở M và cắt cạnh DC ở N. Chứng minh :

Câu 6 : (3.5 điểm)
Cho tam giác ABC vuông ở A. Vẽ phía ngoài tam giác đó các tam giác ABD vuông cân ởB và tam giác ACF vuông cân ở C. Gọi H là giao điểm của AB và CD ; K là giao điểm của AC và BF. Chứng minh :
AH = AK.
AH2 = BH . CK.
III. Đáp án và biểu điểm :
Câu
Đáp án
Điểm

1
a
Ta có :

1.5 đ


b






1,5 đ

2

Ta có :a5 –a = a(a4 – 1) = a(a2 + 1)(a – 1)(a + 1)
Mà : a(a2 +1) (a – 1)(a + 1)
6
Nếu : a
5
a5 –a

5
Nếu a chia 5 dư
1
a2 -1
5
a5 –a
5
Nếu a chia 5 dư
2
a2+1
5
a5 –a
5
Vậy : a5 –a
5 .Mà : (5,6) = 1 . Vậy : a5 – a
5
Lại có :


Từ chứng minh trên thì
;
 ;......... ;

Vậy :

0,5đ
0,25đ
0,25 đ
0,25 đ

0,25 đ

1,0 đ

0, 5 đ

3
a
Ta có : A
Với 0 < x < 2 , ta có :
( Bất đẳng thức Côsi)
Suy ra : A
7
Dấu « = » xảy ra khi và chỉ khi :

Vậy : minA = 7

1,0 đ


0,5 đ

0,5 đ

0,5 đ


b
Vì a, b, c >0 , áp dụng bất đẳng thức Côsi ta có :


Suy ra :


(đpcm)



0,5 đ

0,5 đ

0,5 đ

0,5 đ


0,5 đ

4

ĐKX Đ : x
1.Đặt y =
(với y
0 )

Khi đó: (y + 1)3 + 2y = 2 – (y2 + 1)

y
=0
Vì (y +2)2 +1 > 0 nên y
=0
y = 0.
suy ra : x = 1



0,5 đ
1,0 đ
0,5 đ

0,5 đ


5


-Nêu được cách vẽ qua A và vuông góc với AM cắt DC tại I
-Nêu được trong tam giác vuông AIC có :


 -Chứng minh được

Suy ra : AM = AI
Do đó:



0,5 đ



0,5 đ


1,0 đ

0,5 đ

0,5 đ

6


a
-Đặt AC=CF = b ;
AB = BD = c
-Ta có :



- Từ (1) và (2) suy ra :


Do đó:
AH = AK =






0,5 đ

0,5 đ




1,0 đ



0,5 đ


b
Từ (1) và (2) suy ra :

Mà: AH = AK (cm câu a)
Suy ra: AH2 = BH. CK
0,5 đ
0,25 đ