DE Va DA _Bieu Diem HSG Hà Tĩnh

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH
HÀ TĨNH LỚP 9 THCS NĂM HỌC 2012 -2013

ĐỀ CHÍNH THỨC Môn: TOÁN
(Đề có 01 trang) Thời gian làm bài : 150 phút


Bài 1. a) Tính giá trị biểu thức:
, biết

,
.
b) Giải phương trình:

.
Bài 2. a) Giải hệ phương trình:

.
b) Tìm các số tự nhiên a, b, c phân biệt sao cho biểu thức sau nhận giá trị nguyên

.
Bài 3. Tam giác ABC có chu vi bằng 1, các cạnh a, b, c thoả mãn đẳng thức:

.
Chứng minh tam giác ABC đều.
Bài 4. Cho tam giác ABC vuông cân tại A, gọi D là trung điểm của cạnh BC. Lấy điểm M bất kỳ trên đoạn thẳng AD (M không trùng với A). Gọi N, P theo thứ tự là hình chiếu vuông góc của M xuống cạnh AB, AC và H là hình chiếu vuông góc của N xuống đường thẳng PD.
Chứng minh AH vuông góc với BH.
Đường thẳng qua B song song với AD cắt đường trung trực của AB tại I. Chứng minh ba điểm H, N, I thẳng hàng.
Bài 5. Các số dương x, y, z thỏa mãn điều kiện:
.
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

.
Hết
Thí sinh không được sử dụng tài liệu. Giám thị không giải thích gì thêm.
Họ và tên thí sinh: ............................................................................................ Số báo danh: ............................




SỞ GIÁO DỤC - ĐÀO TẠO HÀ TĨNH
KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH CẤP THCS - NĂM HỌC 2012 -2013
HƯỚNG DẪN CHẤM MÔN TOÁN LỚP 9
(Hướng dẫn chấm gồm 03 trang)

Bài
Đáp án
Điểm

 Bài 1
5,0 điểm
a) 2.5 điểm Ta có M = (x – y)(x2 + xy + y2 + 3) = x3+ 3x – (y3 + 3y).
0.5


Áp dụng
ta có:



0,75





0,75


 Vậy M =
.
0.5


b) 2,5 điểm
Ta thấy
không thoả mãn phương trình.
0.5


Với
, ta có pt đã cho

(1)
Đặt
thì
. Pt (1) trở thành


1.0



.
Chỉ có
thoả mãn, khi đó
(t/m). Vậy pt có một nghiệm là x = 1.
1.0

 Bài 2
5,0 điểm
a) 2.5 điểm
Hệ pt

. Đặt
, hệ trở thành
.
0.5



.
1.0


Từ (1), suy ra (2) có vế trái
, dấu bằng xảy ra
a2(1-a) = y2(1- y) = 0.
Kết hợp
ta có
hoặc
. Thay vào ta có nghiệm
;
.
1.0


b) 2,5 điểm Điều kiện có nghĩa là a, b, c
.
Ta có P =
, nên P nguyên
S =
nguyên.
0.5


Không mất tính tổng quát, giả sử 1

< 3 hay S < 3.
Hơn nữa ta có

S > 0. Do đó S = 1 hoặc S = 2.
0,5


+) S = 1. Ta có 1 =
<
<


>1
a =1 hoặc a = 2.
Với a = 1
1 = 1 +
+
-


+
-
= 0 không xảy ra.
0,5


 Với a = 2
1 =
+
+
-

+
-
=
. Suy ra
>

b < 4.
Từ đó

b = 3. Thay vào được c = 5. Vậy a = 2, b = 3 , c = 5.
0,5


+) S = 2. Ta có 2 =
<
<



a =1.
Thay vào được
+
-
= 1

>1
b =1 loại vì không thỏa mãn b > a.
Kết hợp các trường hợp và do vai trò bình đẳng nên các số (a, b, c) cần tìm là:
(2,3,5), (2,5,3), (3,5,2), (3,2,5), (5,3,2), (5,2,3).
0,5

 Bài 3
2,5 điểm
Đặt
thì x, y, z dương và


0,5