Đề Toán vào lớp 10 chuyên SPHà Nội 2017

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO CỘNG HÒA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI ĐỘC LẬP – TỰ DO – HẠNH PHÚC

ĐỀ CHÍNH THỨC

ĐỀ THI TUYỂN SINH
VÀO TRƯỜNG TRUNG HỌC PHỔ THÔNG CHUYÊN NĂM 2017
Môn thi: Toán
( Dùng cho mọi thí sinh thi vào trường chuyên )
Thời gian làm bài: 120 phút.
Câu 1 ( 2 điểm ) Cho biểu thức:


với
.
Chứng minh
.
Tìm
biết rằng
và

Câu 2 ( 1 điểm ) Giả sử
là hai số thực phân biệt thỏa mãn:
.
Hãy tính
.
Câu 3 ( 2 điểm ) Cho parabol (P):
và đường thẳng (d):
với
là tham số.
Tìm tọa độ giao điểm của đường thẳng (d) và parabol (P) khi

Tìm tất cả các giá trị của
để đường thẳng (d) cắt parabol (P) tại hai điểm phân biệt có hoành độ
thỏa mãn

Câu 4 ( 1 điểm ) Anh Nam đi xe đạp từ A đến C. Trên quãng đường AB ban đầu (B nằm giữa A và C ) anh Nam đi với vận tốc không đổi là
(km/h) và thời gian đi từ A đến B là 1,5 giờ. Trên quãng đường BC còn lại, anh Nam đi chậm dần đều với vận tốc tại thời điểm
( tính bằng giờ ) kể từ B là
(km/h). Quãng đường đi được từ B đến thời điểm
đó là
. Tính quãng đường AB, biết rằng đến C xe dừng hẳn và quãng đường BC dài 16 km.
Câu 5 ( 3 điểm ) Cho đường tròn (O) bán kính R ngoại tiếp tam giác ABC có ba góc nhọn. Các tiếp tuyến của đường tròn (O) tại các điểm B, C cắt nhau tại điểm P. Gọi D,E tương ứng là chân các đường vuông góc hạ từ P xuống các đường thẳng AB, AC và M là trung điểm cạnh BC.
Chứng minh

Giả sử B, C cố định và A chạy trên đường tròn (O) sao cho tam giác ABC luôn là tam giác có ba góc nhọn. Chứng minh đường thẳng DE luôn đi qua một điểm cố định.
Khi tam giác ABC là tam giác đều. Hãy tính diện tích tam giác ADE theo R.
Câu 6 ( 1 điểm ) Các số thực không âm
thỏa mãn:


Chứng minh
, đẳng thức xảy ra khi nào?








Hướng dẫn giải:
Câu 1 1. Ta có:





2.
Vậy
và
.
Câu 2 Ta có:



Thay vào ta có

Câu 3 1. Với
ta có pt đường thẳng (d) là:

Khi đó ta có pt hoành độ giao điểm của đường thẳng (d) và parabol (P) là:




Vậy với
thì đường thẳng (d) cắt parabol (P) tại hai điểm M(2;4) và N(-1;1).
2. Pt hoành độ giao điểm của đường thẳng (d) và parabol (P) là:


Đường thẳng (d) cắt parabol (P) tại hai điểm phân biệt

Pt (1) có 2 nghiệm phân biệt




Với
hoặc
đường thẳng (d) cắt parabol (P) tại hai điểm phân biệt có hoành độ
.
Theo định lí Vi-ét ta có

Theo đề bài ta có:





Thay hệ thức Vi-ét vào ta được:

Với
thì

Với
thì



Vậy đường thẳng (d) cắt parabol (P) tại hai điểm phân biệt có hoành độ

thỏa mãn
khi

Câu 4 Vì tại C xe dừng hẳn nên thời gian
để xe đi từ B đến C là

Do đó quãng đường BC là

Vậy quãng đường AB là

Câu 5
1. M là trung điểm BC

Ta có tứ giác BMPD nội tiếp

Tương tự tứ giác MCEF nội tiếp

Tam giác BCP cân tại P

Từ

2.
( Cùng chắn cung BC )
Ta có
và



Mà
( Cùng bù góc
) và
(Cùng chắn cung PD do BMPD nội tiếp )



Tương tự ME//PD nên MEPD là hbh
Suy ra ED đi qua trung điểm F cố định của MP
3. Tam giác ABC đều thì A,O,M,F thẳng hàng và
, M là trung điểm AP


Câu 6
Nhân cả