De_Toan HSG 9 (2012)- Thai Binh

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
THÁI BÌNH
ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 THCS NĂM HỌC 2011-2012

Môn thi: TOÁN
Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian giao đề


Câu 1. (3,0 điểm)
Cho tam giác vuông có độ dài các cạnh là những số nguyên và số đo chu vi bằng hai lần số đo diện tích. Tìm độ dài các cạnh của tam giác đó.
Câu 2. (3,0 điểm)
Cho biểu thức:

với

Tính giá trị của biểu thức P với
.
Câu 3. (3,0 điểm)
Tìm các số thực x, y thỏa mãn:


Câu 4. (3,0 điểm)
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho parabol (P):
và hai điểm A(-1;1), B(3;9) nằm trên (P). Gọi M là điểm thay đổi trên (P) và có hoành độ là m
. Tìm m để tam giác ABM có diện tích lớn nhất.
Câu 5. (3,0 điểm)
Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O;R). Gọi I là điểm bất kỳ nằm trong tam giác ABC (I không nằm trên cạnh của tam giác). Các tia AI, BI, CI lần lượt cắt BC, CA, AB tại M, N, P.
a) Chứng minh:
.
b) Chứng minh:
.
Câu 6. (3,0 điểm)
Cho tam giác ABC có góc A tù, nội tiếp đường tròn (O;R). Gọi x, y, z lần lượt là khoảng cách từ tâm O đến các cạnh BC, CA, AB và r là bán kính đường tròn nội tiếp tam giác ABC. Chứng minh rằng: y + z - x = R + r.
Câu 7. (2,0 điểm)
Cho x; y thỏa mãn
. Chứng minh rằng:
.

--- Hết ---
Họ và tên thí sinh:.................................................................... Số báo danh:................