Đề Toán ĐHSPHN vòng 1 (2017)

Bộ giáo dục đào tạo cộng hoà xã hội chủ nghĩa việt nam
Trường đại học sư phạm hà nội Độc Lập -Tự Do -Hạnh Phúc
Đề chính thức
ĐỀ THI TUYỂN SINH
VÀO TRƯỜNG TRUNG HỌC PHỔ THÔNG CHUYÊN NĂM 2017
Môn thi: Toán
( Dùng cho mọi thí thi vào trường chuyên)
Thời gian : 120 phút
Câu 1( 2 điểm) Cho biểu thức


với ,
.
1.Chứng minh rằng

2.Tìm a,b biết

Câu 2( 1 điểm) Giả sử x, y là hai số thực phân biệt thỏa mãn

Tính giá trị biểu thức

Câu 3(2 điểm) Cho parabol (P): y = x2 và đường thẳng (d) :

(với a là tham số )
1.Tìm tọa độ giao điểm của ( d) và (P) khi

2. Tìm tất cả các giá trị của a để đường thẳng (d) cắt (P) taị hai điểm phân biệt có hoành độ
thỏa mãn

Câu 4 (1 điểm) Anh nam đi xe đạp từ A đến C . Trên quãng đường AB ban đầu ( B nằm giữa A và C).Anh Nam đi với vận tốc không đổi a( km/h) và thời gian đi từ A đến B là 1,5 giờ. Trên quãng đường BC còn lại anh Nam đi chậm dần đều với vận tốc tại thời điểm t ( tính bằng giờ) kể từ B là
( km/h) .Quãng đường đi được từ B đến thời điểm t đó là
.Tính quãng đường AB biết rằng đến C xe dừng hẳn và quãng đường BC dài 16km.
Câu 5 (3 điểm) Cho đường tròn (O) bán kính R ngoại tiếp tam giác ABC có ba góc nhọn. Các tiếp tuyến của đường tròn (O) tại các điểm B ,C cắt nhau tại điểm P. Gọi D, E tương ứng là chân đường các đường vuông góc kẻ từ P xuống các đường thẳng AB và AC và M là trung điểm cạnh BC.
Chứng minh

Giả sử B, C cố định và A chạy trên (O) sao cho tam giác ABC luôn là tam giác có ba góc nhọn
Chứng minh đường thẳng DE luôn đi qua một điểm cố định.
Khi tam giác ABC đều . Hãy tính diện tích tam giác ADE theo R.
Câu 6 (1 điểm) Các số thực không âm
thỏa mãn


Chứng minh rằng :


Họ và tên thí sinh:…………………………….….Số báo danh:……………….
Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.


Hướng dẫn
Câu 2


Câu 2
a) Phương trình hoành độ (d) và (P) là


b) Với
theo Viét




Với a<0

Với a>4

Câu 4
Vì xe đến C dừng hẳn nên thời gian xe đi từ B đến C thỏa mãn
do đó quàng đường BC là


Câu 5


a)Xét hai tứ giác nội tiếp BDPM và CEPM và tam giác MBC cân


b)


Vậy DE đi qua trung điểm PM
c)

Ta có A; O,M, P thẳng hàng
Tính được

Câu 6