De thi VD HSG toan

đề thi vô địch toán 9 vòng 2

Câu 1:
Cho số a =
a. Lập đa thức hệ số nguyên nhận a = là nghiệm.
b. Chứng minh a = là một số vô tỉ.
c. Tính giá trị của biểu thức f(a) trong đó:
f(x) = x5 - x4 + 7x3 - 8x2 + 8x + 2004.
Câu 2:
Cho dãy số nguyên dương a1 ; a2 ;…an được xác đình như sau :
a1 = b; a2 = b + 1; an+1 = an(an-1) + 2 với n ≥ 2, n € N
Chứng minh rằng:
(a12 + 1) (a22 + 1)...a2n + 1) - 1 = (an +1 - 1)2
Câu 3:
Cho a, b, c là 3 cạnh của một tam giác có chu vi bằng 2. CMR:
a2 + b2 + c2 + 2abc < 2.
Câu 4:
Xác định m để pt (m -1) x2 + 2 (m-3) x + 1 = 0 có 2 nghiệm phân biệt và nghịch đảo của 2 nghiệm đều nhỏ hơn m.
Câu 5
Cho tam giác ABC có AD là phân giác và AM là trung tuyến. Đường tròn ba điểm
A, M, D cắt AB tại E và cắt AC tại F.
a. CMR BE = CF
b. Gọi I là trung điểm của EF. CMR IM//AD.


đáp án vô địch toán 9 vòng 2
Đáp án
Câu 1: (1.5đ)
Ta có a =
=> a3 = 4-2 -3
=> a3 = 2 - 6a
=> a3 + 6a - 2 = 0.
Vậy a là nghiệm của đa thức với hệ số nguyên g(x) = x3 + 6x - 2.
b. Giả sử a là số hữu tỉ thì đa thức g(x) có nghiệm hữu tỉ a. Vì g(x) là đa thức có hệ số nguyên và hệ số cao nhất là 1.
=> a là nghiệm nguyên của g(x) và là ước của hệ số tự do là -2.
=> a €
± 1; ± 2
nhưng g(1) = 5 ≠ 0.
g(-1) = -9 ≠ 0
g(2) = 18 ≠ 0
g(-2) = -22 ≠ 0 mâu thuẫn.
Vậy a là số vô tỉ.
c. Ta có:
f(x) = (x3 + 6x - 2) (x2 - x + 1) + 2006.
Hay f(x) = g(x) . (x2 - x + 1) + 2006.
Vì a là nghiệm của g(x) nên g(a) = 0 do đó f(a) = g(a). (a2 - a + 1) + 2006
= 2006
Vậy f(a) = 2006.
Câu 2: (1,5đ)
Theo đầu bài ta có: a1= a2- 1.
a3 = a2. a1+ 2 = a2(a2-1) + 2.
+Với n = 2. ta có.
(a21 + 1) (a22 + 1) - 1.
= (a22 + 1) - 1
= (a2 - 1)2 . a22 + (a2 - 1)2 + a22 + 1 - 1.
= 2 + 2 (a2 - 1) a2 +1
= 2 = (a2 . a1 + 2 - 1)2 = (a3 - 1)2.
Mệnh đề đúng với n = 2.
+ Giả sử mệnh đề đúng với n = k ≥ 2 (n € N) tức là ta có:
(a21 + 1) (a22 + 1)...(a2K + 1) - 1 = (aK + 1- 1)2.
Ta phải chứng minh mệnh đề đúng với n = k + 1.
Thật vậy.
Ta có: (a21 + 1) (a22 +1)… (a2K + 1) (a2k + 1) - 1