đề thi vào trường chuyên Hà Tĩnh

SỞ GD & ĐT HÀ TĨNH

KỲ THI VÀO LỚP 10 THPT CHUYÊN HÀ TĨNH
NĂM HỌC: 2013 – 2014
MÔN: TOÁN (Chuyên)
Thời gian làm bài 150 phút



Câu 1:
Giải hệ phương trình:

Giải phương trình


Câu 2:
Cho 3 số thực x, y, z thỏa mãn

Tính giá trị của biểu thức

Cho các số thực dương x, y thỏa mãn

Chứng minh rằng

Câu 3:
Tìm các số nguyên dương a, b, c thỏa mãn đồng thời các điều kiện

là số hữu tỉ và
là số nguyên tố.
Câu 4:
Cho tam giác ABC có AB = AC = a,
BAC = 1200. Các tiếp tuyến của đường tròn (A; AB) tại B và C cắt nhau tại D. Gọi M là một điểm di động trên cung nhỏ BC của đường tròn (A; AB) (M khác B, C). Tiếp tuyến tại M của đường tròn (A; AB) cắt DB, DC lần lượt tại E, F. Gọi P, Q lần lượt là giao điểm của các đường thẳng AE, AF với đường thẳng BC
Chứng minh tứ giác ABEQ nội tiếp được đường tròn và các đường thẳng AM, EQ, FP đồng quy.
Xác định vị trí của M trên cung nhỏ BC của (A; AB) để diện tích tam giác APQ nhỏ nhất. Tính giá trị đó theo a.
Câu 5:
Từ một đa giác đều 15 đỉnh, ta chọn ra 7 đỉnh bất kỳ. Chứng minh rằng có 3 đỉnh trong số các đỉnh đã chọn là 3 đỉnh của một tam giác cân.

- Hết -





Sơ lược giải:
Câu 1:
a. ĐK:




Giải 2 TH tìm được nghiệm:

b. ĐK:

PT
Dễ thấy x = 1 là một nghiệm của PT
Với
:
Ta có:
Vậy nghiệm của PT là: x = 1;

Câu 2:
a. Nhận xét:

Áp dụng ta có:
Xét 3 trường hợp ta đều tìm được: x = 1; y = 2; z = 3
Vậy F = 0
b. Với x; y > 0 ta có:


Do đó:

Vậy

Đẳng thức có khi: x = 2; y = 1
Câu 3: Đặt


Để A nguyên tố thì c2 = 1 hoặc k4 + k2 + 1 = 1


Nếu k = 0 thì a = 0 (loại)
Suy ra c = 1 = a = b
Khi đó A = 3 là số nguyên tố
Câu 5:
Từ 15 đỉnh của đa giác đều ta tạo ra 3 ngũ giác đều trong đó: Ngũ giác thứ nhất có các đỉnh tô màu đỏ, ngũ giác thứ hai có các đỉnh tô màu xanh, ngũ giác thứ ba có các đỉnh tô màu vàng. Ta coi 3 ngũ giác đó là 3 chuồng, 7 điểm ta chọn là 7 con thỏ. Như vậy 7 con thỏ nhốt vào 3 cái chuồng thì ắt phải có một chuồng có ít nhất 3 con thỏ(Điriclê). Mà 3 đỉnh bất kỳ của một ngũ giác đều bao giờ cũng tạo thành một tam giác cân. Từ đó suy ra (đpcm)
Câu 4: Dễ hơn đề thi chung nên bạn đọc tự giải quyết



(Hình minh họa câu 5)




Lời giải chỉ mang tính tham khảo, mong nhận được sự góp ý…
Phan Đình Ánh – THCS Thach Kim – Lộc Hà – Hà Tĩnh
Điện thoại: 0944 899 066