đề thi vào trường chuyên đại học vinh (vòng 2)

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH

ĐỀ THI TUYỂN SINH
VÀO LỚP 10 TRƯỜNG THPT CHUYÊN
NĂM HỌC 2013 – 2014
Môn thi : Toán (vòng 1)
Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian phát đề)



Câu 1 (2,0 điểm). Tìm hai số nguyên a và b sao cho

.
Câu 2 (2,5 điểm). Cho phương trình
.
Tìm m để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt.
Tìm m để phương trình (1) có nghiệm bé là
, nghiệm lớn là
thỏa mãn điều kiện
.
Câu 3 (1,5 điểm). Giả sử x và y là các số dương có tổng bằng 1. Đặt
.
Tìm giá trị nhỏ nhất của S
Biểu thức S có giá trị lớn nhất hay không ? Vì sao?
Câu 4 (4,0 điểm). Cho tam giác ABC có AB = 6, AC = 8, BC = 10. Gọi M, N, P tương ứng là chân đường cao, chân đường phân giác, chân đường trung tuyến kẻ từ đỉnh A.
Chứng minh rằng, điểm N nằm giữa hai điểm M và P.
Tính diện tích các tam giác APB, ABN và ABM.
HẾT










BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH

ĐỀ THI TUYỂN SINH
VÀO LỚP 10 TRƯỜNG THPT CHUYÊN
NĂM HỌC 2013 – 2014
Môn thi : Toán (vòng 2)
Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian phát đề)



Câu 1 (1,5 điểm). Giả sử n là số nguyên tố lớn hơn 2. Chứng minh rằng
là số nguyên dương.
Câu 2 (1,5 điểm). Rút gọn biểu thức


Câu 3 (1,5 điểm). Giải hệ phương trình


Câu 4 (1,5 điểm). Cho tam giác ABC có
và
.
Chứng minh rằng

Câu 5 (4,0 điểm). Cho tam giác ABC. Gọi H là chân đường cao kẻ từ A, biết rằng H nằm trên đoạn thẳng BC và không trùng với B hoặc C. Đường thẳng AB cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác ACH tại D phân biệt với A. Đường thẳng AC cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác ABH tại E phân biệt với A.
Gọi I và J lần lượt là trung điểm của AB và AC. Chứng minh rằng bốn điểm I, J, D, E cùng nằm trên một đường tròn.
Chứng minh rằng HA là tia phân giác của
.
Xác định mối liên hệ giữa AB, AC và AH để DE tiếp xúc với cả hai đường tròn nói trên.
HẾT