Dề thi vào lớp 10 toàn quóc 2009

Sở Giáo dục và đào tạo Kỳ THI TUYểN SINH LớP 10 chuyên QuốC HọC
Thừa TOàN QUốc Môn: TOáN - Năm học 2008-2009
Đề chính thức Thời gian làm bài: 150 phút

Bài 1: (3 điểm)
Không sử dụng máy tính bỏ túi, hãy chứng minh đẳng thức :

.
Giải hệ phương trình :

Bài 2: (1,5 điểm)
Cho phương trình:
.
Tìm giá trị
để phương trình có bốn nghiệm
sao cho:

và
.
Bài 3: (3 điểm)
Cho đường tròn (O), đường kính AB. Gọi C là trung điểm của bán kính OB và (S) là đường tròn đường kính AC. Trên đường tròn (O) lấy hai điểm tùy ý phân biệt M, N khác A và B. Gọi P, Q lần lượt là giao điểm thứ hai của AM và AN với đường tròn (S).
Chứng minh rằng đường thẳng MN song song với đường thẳng PQ.
Vẽ tiếp tuyến ME của (S) với E là tiếp điểm. Chứng minh:
.
Vẽ tiếp tuyến NF của (S) với F là tiếp điểm. Chứng minh:
.
Bài 4: (1,5 điểm)
Tìm số tự nhiên có bốn chữ số (viết trong hệ thập phân) sao cho hai điều kiện sau đồng thời được thỏa mãn:
Mỗi chữ số đứng sau lớn hơn chữ số đứng liền trước.
Tổng p + q lấy giá trị nhỏ nhất, trong đó p là tỉ số của chữ số hàng chục và chữ số hàng đơn vị còn q là tỉ số của chữ số hàng nghìn và chữ số hàng trăm.
Bài 5: (1 điểm)
Một tấm bìa dạng tam giác vuông có độ dài ba cạnh là các số nguyên. Chứng minh rằng có thể cắt tấm bìa thành sáu phần có diện tích bằng nhau và diện tích mỗi phần là số nguyên.

Hết



SBD thí sinh: ................. Chữ ký GT1: ..............................  Sở Giáo dục và đào tạo Kỳ THI TUYểN SINH LớP 10 chuyên QuốC HọC
Thừa Thiên Huế Môn: TOáN - Năm học 2008-2009

ĐÁP ÁN - THANG ĐIỂM

BÀI
 NỘI DUNG
Điểm

B.1

3,0

1.a












0.25


0.25

0,25

0.25

1.b
Điều kiện y
0 .
0,25



.
0,25


 Đặt
,
(
), ta có hệ

0,50


Giải ra : u = 2 , v = 3 hoặc u =3 , v = 2
0,25


Trường hợp u = 2 , v = 3 có : ( x = 1 ; y = 9 ) hoặc ( x =
3 ; y = 9)
0,25


Trường hợp u = 3 , v = 2 có : ( x = 2 ; y = 4 ) hoặc ( x =
4 ; y = 4)
0,25


Hệ đã cho có 4 nghiệm: (1;9) , (-3;9) , (2;4) , (- 4;4) .
0,25

B.2

1,5



(1)
Đặt :
, ta có :
(2) (
) .
0,25



với mọi
.
0,25


Vậy để (1) có bốn nghiệm phân biệt thì (2) luôn có hai nghiệm dương phân biệt
. Tương đương với:
(3)
0,25


Với điều kiện (3), phương trình (2) có 2 nghiệm dương
và phương trình (1) có 4 nghiệm phân biệt:

Theo giả thiết:
(4)
0,25


Theo định lí Vi-ét, ta có:
và
(5)
Từ (4) và (5) ta có:
và


.
Cả hai giá trị đều thỏa mãn điều kiện bài toán.
Vậy để phương trình (1) có 4 nghiệm thỏa mãn điều kiện bài toán thì cần và đủ là:

và
.



0,50


B.3

3,0

3.a
+ Hình vẽ


Do đó :
(1)
+ Tương tự:
và

Từ (1) và (2):
,
Do đó

0,25


0,25

0,25



0,