Đề thi vào lớp 10 THPT chuyên tp Hà Nội

Đề thi vào lớp 10 môn Toán Trường THPT chuyên Amsterdam, chuyên Nguyễn Huệ, Hà Nội năm học 2013 - 2014

Bài 1:  1) Tìm các số tự nhiên n để 72013+3n có chữ số hàng đơn vị là 8. 2) Cho a, b là các số tự nhiên lớn hơn 2 và p là số tự nhiên thỏa mãn 
. Chứng minh p là hợp số. Bài 2: 1) Tìm các số nguyên x, y thỏa mãn                x2−3y2+2xy−2x+6y−8=0. 2) Giải hệ phương trình
2x2+xy+3y2−2y−4=0
3x2+5y2+4x−12=0
Bài 3: Cho a, b là các số thực thỏa mãn a+b+4ab=4a2+4b2. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
A=20(a3+b3)−6(a2+b2)+2013.
Bài 4: Cho tam giác ABC không phải là tam giác cân. Đường tròn (O) tiếp xúc vói BC, AC, AB lần lượt tại M, N, P. Đường thẳng NP cắt BO, CO lần lượt tại E và F.
1) Chứng minh rằng 
và 
bằng nhau hoặc bù nhau.
2) Bốn điểm B, C, E, F thuộc 1 đường tròn.
3) Gọi K là tâm đường tròn ngoại tiếp OEF. Chứng minh O, M, K thẳng hàng.
Bài 5: Trong mặt phẳng cho 6 điểm A1, A2,..., A6 trong đó không có 3 điểm nào thẳng hàng và trong 3 điểm luôn có 2 điểm có khoảng cách nhỏ hơn 671. Chứng minh rằng trong 6 điểm đã cho luôn tồn tại 3 điểm là 3 đỉnh của 1 tam giác có chu vi  nhỏ hơn 2013.