Đề thi vào lớp 10 chuyên Toán ĐHKHTN-ĐHQGHN

CÁC ĐỀ THI VÀO LỚP 10 TRƯỜNG CHUYÊN
ĐỀ 1(khối chuyên ĐHKHTN - ĐHQG Hà Nội 2005 - 2006)
1. Đề bài.
VÒNG I
Câu 1: Giải hệ phương trình x+y+xy = 3
x + y = 2

Câu 2: Giải phương trình x + 4  + 2  = 11
Câu 3: Tìm nghiệm nguyên của phương trình:
X + 17 y + 34 xy + 51(x + y) = 1740.
Câu 4: Cho hai đường tròn (O), (O’) nằm ngoài nhau có tâm tương ứng là O và O’. Một tiết tuyến chung ngoài của hai đường tròn tiếp xúc với (O) tại A và (O’) tại B. Một tiếp tuyến chung trong của hai đường tròn cắt AB tại I, tiếp xúc với (O) tại C.và tiếp xúc với (O’) tại tại D. Biết rằng C nằm giữa I và D.
a/ Hai dường thẳng OC và O’B cắt nhau tại M. Chứng minh rằng OM > O’M.
b/ (S) là đường tròn đi qua A, C, B và (S’) là đường tròn đi qua A, D, B. Đường thẳng CD cắt (S) tại E khác C và cắt (S’) tại F khác D. Chứng minh rằng AF vuông góc với BE.


VÒNG II

Câu 5: Giả sử x, y, z là các số dương thay đổi và thỏa mãn điều kiện xyz + x z +y = 3z Hãy tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P = 
Câu 6: Giải phương trình  +  +  = 2.
x + y - x y = 1
Câu 7: Giải hệ phương trình
4x + y = 4x + y

Câu 8: Giả sử x, y là những số không âm thay đổi thỏa mãn điều kiện x + y = 1.
a/ Chứng minh rằng. 1 ≤ x + y ≤  .
b/ Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức P =   .
Câu 9: Cho hình vuông ABCD và điểm P nằm trong tam giác ABC.
a/ Giả sử  = 135. Chứng minh rằng 2PB + PC = PA .
b/ Các đường thẳng AP và CP cắt cạnh BC và BA tương ứn tại các điểm M và N. Gọi Q là điểm đối xứng với B qua trun điểm của đoạn MN. Chứng minh rằng khi P thay đổi trong ∆ ABC, đường thẳng PQ luôn đi qua D.
Câu 10:
1/ Cho đa giác đều (H) có 14 đỉnh. Chứng minh rằng 6 đỉnh bất kì của (H) luôn có 4 đỉnh là đỉnh của hình thang .
2/ Có bao nhiêu phân số tối giản  lớn hơn 1 (m, n là các số nguyên dương ) thỏa mãn nm = 13860.