Đề thi vào lớp 10 các trường chuyên Hà Nội

Trường Chu Văn An & HN – Amsterdam
Năm học 1992 – 1993
(150 phút)
Bài 1 (2,5đ):
Xét biểu thức:
P =

1, Rút gọn P.
2, Tìm giá trị nhỏ nhất của P.

Bài 2 (2,5đ):
Một ô tô tải đi từ A đến B với vận tốc 30 km/h. Sau đó một thời gian, xe con cũng xuất phát từ A với vận tốc 40 km/h và nếu không có gì thay đổi thì sẽ đuổi kịp ô tô tải tại B. Nhưng sau khi đi được nửa quãng đường AB thì xe con tăng tốc thành 45 km/h nên sau đó 1h thì đuổi kịp xe tải. Tính quãng đường AB.

Bài 3 (4đ):
Cho nửa đường tròn đường kính AB, trên đó có một điểm M. Trên đường kính AB lấy điểm O sao cho OA < OB. Trên nửa mặt phẳng bờ AB có chứa điểm M người ta vẽ các tia Ax, By vuông góc với AB. Đường thẳng đi qua M vuông góc với MO cắt Ax tại P; đường thẳng đi qua O vuông góc với OP cắt By tại Q. Gọi D là giao điểm của OP và AM, E là giao điểm của OQ và BM.
1, Chứng minh: Các tứ giác AOMP, ODME nội tiếp được.
2, Chứng minh: AB // DE.
3, Chứng minh: Ba điểm P, M, Q thẳng hàng.
4, Ngoài điểm M ra các đường tròn ngoại tiếp các tam giác DMP, EMQ còn điểm chung nào nữa không ? Tại sao ?

Bài 4 (1đ):
Giải phương trình:
2x4 – x3 – 5x2 + x + 2 = 0










Trường Chu Văn An & HN – Amsterdam
Năm học 1994 – 1995
(150 phút)

Bài 1 (2,5đ):
Cho biểu thức:
P =

1, Rút gọn P.
2, Xét dấu của biểu thức: P.


Bài 2 (2,5đ):
Hai ca nô xuôi từ bến A đến bến B với vận tốc 30 km/h sau đó lại ngược từ B về A. Thời gian đi xuôi ít hơn thời gian đi ngược là 1 giờ 20 phút. Tìm khoảng cách giữa hai bến A, B biết rằng vận tốc dòng nước là 5 km/h và vận tốc riêng của ca nô lúc xuôi dòng và lúc ngược dòng là bằng nhau.

Bài 3 (4đ):
Cho tam giác ABC cân tại A (góc A < 90o). Một cung tròn BC nằm bên trong tam giác ABC và tiếp xúc với AB, AC tại B và C. Trên cung BC lấy một điểm M rồi hạ các đường vuông góc MI, MH, MK xuống các cạnh tương ứng BC, CA, AB. Gọi P là giao điểm của MB và IK, Q là giao điểm của MC và IH.
1, Chứng minh: Các tứ giác BIMK, CIMH nội tiếp được.
2, Chứng minh: Tia đối của tia MI là phân giác của góc HMK.
3, Chứng minh tứ giác MPIQ nội tiếp được. Suy ra PQ // BC.
4, Gọi (O1) là đường tròn đi qua M, P, K; (O2) là đường tròn đi qua M, Q, H. Gọi N là giao điểm thứ hai của (O1) và (O2) và D là trung điểm của BC. Chứng minh rằng M, N, D thẳng hàng.

Bài 4 (1đ):
Tìm tất cả các cặp số (x; y) thoả mãn phương trình sau:



Trường Chu Văn An & HN – Amsterdam
Năm học 1995 – 1996
(150 phút)

Bài 1 (2đ):
Cho các biểu thức:
A =
; B =

1, Rút gọn A và B.
2, Tìm giá trị của x để A = B.

Bài 2 (3đ):
Cho phương trình:
x2 – 2(m – 1)x + m – 5 = 0 (x là ẩn)
1, Tìm m để phương trình có một nghiệm x = – 1 và tìm nghiệm còn lại.
2, Chứng minh phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt x1, x2 với mọi giá trị của m.
3, Với giá trị nào của m thì x12 + x22 đạt giá trị nhỏ nhất và tìm giá trị nhỏ nhất đó.

Bài 3 (4đ):
Cho đường tròn (O) đường kính AB = 2R và một điểm C nằm trên đường tròn (C khác A và B). Trên nửa mặt phẳng bờ AB chứa điểm C kẻ tia Ax tiếp xúc với đường tròn (O). Gọi M là điểm chính giữa của cung nhỏ AC, P là giao điểm của AC và BM. Tia BC cắt các tia AM, Ax lần lượt tại N và Q