De thi vao Ha Noi – AMSTERDAM

Trường Chu Văn An và HN – AMSTERDAM(2005 – 2006)
(dành cho chuyên Toán và chuyên Tin; thời gian :150’)
Bài 1: (2đ)
Cho P = (a+b)(b+c)(c+a) – abc với a,b,c là các số nguyên. Chứng minh nếu a +b +c chia hết cho 4 thì P chia hết cho 4.
Bài 2(2đ)
Cho hệ phương trình:
(x+y)4 +13 = 6x2y2 + m
xy(x2+y2)=m
1. Giaỉ hệ với m= -10.
2. Chứng minh không tồn tại giá trị của tham số m để hệ có nghiệm duy nhất./
Bài 3 (2đ):
Ba số dương x, y,z thoả mãn hệ thức xét biểu thức P = x + y2+ z3
1. Chứng minh P
x+2y+3z-3
2.Tìm giá trị nhỏ nhất của P
Bài 4 (3đ):
Cho tam giác ABC, lấy 3 điểm D,E,F theo thứ tự trên các cạnh BC,CA,AB sao cho AEDF là tứ giác nội tiếp. Trên tia AD lấy điểm P (D nằm giữa A&P) sao cho DA.DP = DB.DC
1. chứng minh tứ giác ABPC nội tiếp và 2 tam giác DEF, PCB đồng dạng.
2. gọi S và S’ lần lượt là diện tích của hai tam giác ABC & DEF, chứng minh:

Bài 5(1đ)
Cho hình vuông ABCD và 2005 đường thẳng thoả mãn đồng thời hai điều kiện:
Mỗi đường thẳng đều cắt hai cạnh đối của hình vuông.
Mỗi đường thẳng đều chia hình vuông thành hai phần có tỷ số diện tích là 0.5
Chứng minh trong 2005 đường thẳng trên có ít nhất 502 đường thẳng đồng quy.