De thi vao chuyen toan DHKHTN

đại học quốc gia hà nội đề thi tuyển sinh lớp 10
trường đại học khoa học tự nhiên hệ thpt chuyên năm 2010

môn toán (Vòng 1)
Thời gian làm bài: 120 phút (Không kể thời gian phát đề)

Câu I
1) Giải hệ phương trình


2) Giải phương trình


Câu II
1) Tìm tất cả các cặp số nguyên không âm (x,y) thoả mãn đẳng thức
(1+x2)(1+y2) + 4xy + 2(x+y)(1+xy) = 25.
2) Với mỗi số thực a, ta gọi phần nguyên của số a là số nguyên lớn nhất không
vuợt quá a và kí hiệu là [a]. Chứng minh rằng với mọi n nguyên dương ta luôn có


Câu III
Cho đường tròn (O) với đường kính AB=2R .Trên đường thẳng tiếp xúc với đường
tròn (O) tại A ta lấy điểm C sao cho
= Gọi H là giao điểm thứ hai của đường thẳng BC với đường tròn (O).
1) Tính độ dài các đoạn thẳng AC, BC và khoảng cách từ A đến đường thẳng BC
theo R.
2) Với mỗi điểm M trên đoạn thẳng AC, đường thẳng BM cắt đường tròn (O) tại điểm N (khác B). Chứng minh rằng bốn điểm C, M, N, H nằm trên cùng một
đường tròn và tâm của các đường tròn đó luôn chạy trên một đường thẳng cô định khi M thay đổi trên đoạn thẳng AC.
Câu IV
Với a,b là các số thực thoả mãn đẳng thức hãy tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.