Đề thi vào chuyên toán

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TUYÊN QUANG


KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT CHUYÊN
NĂM HỌC 2010 - 2011
MÔN THI: TOÁN CHUYÊN
Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề)
(Đề này có 01 trang)
----------


Câu 1 (2 điểm).
1) Giải phương trình:
;
2) Giải hệ phương trình:
.
Câu 2 (1 điểm). Chứng minh rằng biểu thức A =
là số nguyên.
Câu 3 (4 điểm). Cho tam giác ABC (AB
AC) nội tiếp trong đường tròn (O). Một đường thẳng song song với tiếp tuyến của (O) tại A cắt các cạnh AB, AC theo thứ tự tại D, E và cắt đường thẳng BC tại F.
1) Chứng minh BDEC là tứ giác nội tiếp.
2) Chứng minh:
a) AB.AD = AC.AE;
b) FB.FC = FD.FE.
3) Đường thẳng FD cắt (O) tại I và J. Chứng minh rằng FI.FJ = FD.FE.
Câu 4 (2 điểm). Giải các phương trình nghiệm nguyên (x, y là các ẩn số):
1)
.
2)
.
Câu 5 (1 điểm). Cho các số dương
thỏa mãn
. Chứng minh rằng:

.
----------------------------------------------------Hết--------------------------------------------------
Ghi chú:
+ Giám thị coi thi không giải thích gì thêm.
+ Thí sinh không được sử dụng tài liệu trong khi làm bài.




SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT CHUYÊN

TUYÊN QUANG
NĂM HỌC 2010-2011





HƯỚNG DẪN CHẤM MÔN
TOÁN CHUYÊN

Câu
Hướng dẫn giải
Điểm

1.1

(1)
0.25


TH1:
.
(1)
(thỏa mãn).
0.25


TH2:
.
(1)
(vô lý)
0.25


TH3:
.
(1)
(thỏa mãn).
Vậy: Nghiệm của phương trình đã cho là:
.
0.25

1.2

. Đặt x + y = u, xy = v ta được hệ phương trình:
(1).
0.25


Giải hệ (1) ta được:
hoặc
.
0.25


Với
ta được hệ
: Hệ vô nghiệm.
0.25


Với
ta được hệ
. Giải ra ta được
hoặc

0.25

2

Ta có

0.25




0.25




0.25



(vì phương trình
vô nghiệm)



0.25

3.1













0.25


Ta có
(so le trong) và
(có số đo bằng nửa số đo cung AC)

=
.
0.5


Mà
+
=

+
=

BDEC là tứ giác nội tiếp.
0.25

3.2
a) XÐt hai tam giác ADE vµ ACB cã:
chung vµ
=
(theo chứng minh ý 1).
0.25


Suy ra tam giác ADE đồng dạng với tam giác ACB
0.25




0.5


b) XÐt hai tam giác FBD và FEC có:
chung và
=
(vì đều là góc bù của góc ABC).
0.25


Suy ra tam giác FBD đồng dạng với tam giác FEC
0.25



(1)
0.5

3.3
XÐt hai tam giác FBI và FCJ có:
chung và
=
(đều là góc bù của góc IBC).
0.25


Suy ra tam giác FBI đồng dạng với tam giác FCJ
0.25



(2)
0.25


Tõ (1) vµ (2) suy ra

0.25

4.1


0.25


Để phương trình (*) có nghiệm (ẩn x) ta phải có

.
0.25


Vì
nên y = 0. Thay vào (*) ta được x = -1 hoặc x = -2.
0.25


Vậy: phương trình đã cho có các nghiệm nguyên là: (-1; 0), (-2; 0).
0.25

4.2
Với mọi số nguyên n ta có
.
0.25


Do đó
với mọi x, y nguyên.
0