De thi vao 10 HCM nam 2012- 2013

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT HÀ NỘI Năm học: 2012 – 2013

ĐỀ CHÍNH THỨC MÔN: TOÁN
Thời gian làm bài: 120 phút
Bài I (2,5 điểm)
Cho biểu thức
Tính giá trị của biểu thức A khi x = 36.
Rút gọn biểu thức
(với x
0, x
16).
Với các biểu thức A và B nói trên, hãy tìm các giá trị nguyên của x để giá trị của biểu thức B(A – 1) là số nguyên.
Bài II (2,0 điểm) Giái bài toán sau bằng cách lập phương trình hoặc hệ phương trình:
Hai người cùng làm chung một công việc trong
giờ thì xong. Nếu mỗi người làm một mình thì thời gian để người thứ nhất hoàn thành công việc ít hơn người thứ hai là 2 giờ. Hỏi nếu làm một mình thì mỗi người phải làm trong bao nhiêu giờ để xong công việc?
Bài III (1,5 điểm)
Giải hệ phương trình

Cho phương trình :
(ẩn x). Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x1, x2 thỏa mãn điều kiện

Bài IV (3,5 điểm) Cho đường tròn (O; R) đường kính AB. Bán kính CO vuông góc với AB, M là điểm bất kì trên cung nhỏ AC (M khác A và C), BM cắt AC tại H. Gọi K là hình chiếu của H trên AB.
Chứng minh tứ giác CBKH là tứ giác nội tiếp.
Chứng minh

Trên đoạn thẳng BM lấy điểm E sao cho BE = AM. Chứng minh tam giác ECM là tam giác vuông cân tại C.
Gọi d là tiếp tuyến của đường tròn (O) tại điểm A. Cho P là một điểm nằm trên d sao cho hai điểm P, C nằm trong cùng một nửa mặt phẳng bờ AB và
. Chứng minh đường thẳng PB đi qua trung điểm của đoạn thẳng HK.
Bài V (0,5 điểm) Với x, y là các số dương thỏa mãn điều kiện x
2y, tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức M =
.







HƯỚNG DẪN GIẢI ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 MÔN TOÁN
Câu 1:
1) ĐKXĐ của biểu thức A là : x

Với x=36 ta có: A =

2) B=

B =

3) B(A-1) =

B(A-1) =
. Vì x là số nguyên nên (x-16) là Ư(2) ={1,-1,2,-2}
Suy ra các số nguyên x cần tìm là : {17,15,18,14}
Câu 2:
Gọi thời gian để người thứ nhất làm một mình xong công việc đó là x(h).
Do thời gian để người thứ nhất làm một mình xong công việc đó ít hơn người thứ hai là 2h nên thời gian để người thứ hai làm một mình xong công việc đó : (x+2)h
ĐK: x>0
Suy ra:
Trong 1h người thứ nhất làm một mình xong
công việc.
Trong 1h người thứ hai làm một mình xong
công việc.
Trong 1h cả hai người làm chung xong (
+
công việc.
Theo bài ra: Cả hai người làm chung thì
xong công việc đó nên ta có PT:



Giải PT được 2 nghiệm : x1=4 và x2 =-
(loại)
Kết luận:
thời gian để người thứ nhất làm một mình xong công việc đó là: 4h.
thời gian để người thứ hai làm một mình xong công việc đó là:6h
Câu 3: 1)

Cộng hai PT của hệ theo vế được:

Thay x=2 vào PT đầu của hệ đã cho được:
.
KL: Hệ đã cho có nghiệm duy nhất x=2;y=1
2) Ta có:
, với mọi m (vì
với mọi m nên 4m2+1
với mọi m). Suy ra PT luôn có 2 nghiệm phân biệt với mọi m.
* Theo Vi-et ta có:

Suy ra: x12+x22 =7

KL: m=1 hoặc m=-
là các GT cần tìm.
Câu 4:













a)
* Học sinh chứng minh được :

Suy ra:
Tứ giác CBKH nội tiếp đường tròn đk BH
b)
* Ta có :
(2 góc nt cùng chắn cung AM)
Do Tứ giác CBKH nội tiếp đường tròn đường kính BH , suy ra:

( 2 góc nt cùng chắn cung HK)
Vậy:

c) Học sinh chứng minh được:
.
Do
(góc nt chắn nửa đường tròn)
nên
ECM vuông cân tại C.
4) Vì (d) là tiếp tuyến, AB là đường kinh của đường tròn (O),
nên d
AB tại A (bán kính vuông góc với tiếp tuyến tại tiếp điểm).
Suy ra:

Lại có: AP.MB=MA.R=MA.OM
= =
PM là tiếp tuyến của đường tròn (O).
* Gọi Q là giao điểm của tia BM và (d).
- Chứng minh được: PA=PQ(=PM) .
- HK//AQ nên Áp dụng định lí ta lét có:
(I là giao điểm của BP và HK)
Câu 5:
Cách 1: Do x, y dương và x
. Đặt t =
. Ta có:
M =
.
Áp dụng BĐT Cô-si cho 2 số dương
. Kết hợp với t
ta có:
M
( Dấu = khi t=2)
Kết luận: min M =

Cách 2: M =
với x, y là các số dương và x ( 2y
Ta có
(
(Bất đẳng thức Cauchy)
=
(Thay mẫu số bằng số nhỏ hơn). Suy ra Max
khi x = 2y, do đó giá trị nhỏ nhất của M =
đạt được khi x = 2y.

( GV Dương Hồng Hạnh – THCS Khải Xuân – Thanh Ba – Phú Thọ )
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT TP.HCM Năm học: 2012 – 2013
ĐỀ CHÍNH THỨC MÔN: TOÁN
Thời gian làm bài: 120 phút
Bài 1: (2 điểm)
Giải các phương trình và hệ phương trình sau:
a)

b)

c)

d)

Bài 2: (1,5 điểm)
a) Vẽ đồ thị (P) của hàm số
và đường thẳng (D):
trên cùng một hệ trục toạ độ.
b) Tìm toạ độ các giao điểm của (P) và (D) ở câu trên bằng phép tính.
Bài 3: (1,5 điểm)
Thu gọn các biểu thức sau:

với x > 0;



Bài 4: (1,5 điểm)
Cho phương trình
(x là ẩn số)
Chứng minh rằng phương trình luôn luôn có 2 nghiệm phân biệt với mọi m.
Gọi x1, x2 là các nghiệm của phương trình.
Tìm m để biểu thức M =
đạt giá trị nhỏ nhất
Bài 5: (3,5 điểm)
Cho đường tròn (O) có tâm O và điểm M nằm ngoài đường tròn (O). Đường thẳng MO cắt (O) tại E và F (MEChứng minh rằng MA.MB = ME.MF
Gọi H là hình chiếu vuông góc của điểm C lên đường thẳng MO. Chứng minh tứ giác AHOB nội tiếp.
Trên nửa mặt phẳng bờ OM có chứa điểm A, vẽ nửa đường tròn đường kính MF; nửa đường tròn này cắt tiếp tuyến tại E của (O) ở K. Gọi S là giao điểm của hai đường thẳng CO và KF. Chứng minh rằng đường thẳng MS vuông góc với đường thẳng KC.
Gọi P và Q lần lượt là tâm đường tròn ngoại tiếp các tam giác EFS và ABS và T là trung điểm của KS. Chứng minh ba điểm P, Q, T thẳng hàng.


BÀI GIẢI
Bài 1: (2 điểm)
Giải các phương trình và hệ phương trình sau:
a)
(a)
Vì phương trình (a) có a - b + c = 0 nên
(a)

b)
(


(

(

c)
(C)
Đặt u = x2 ( 0, phương trình thành : u2 + u – 12 = 0 (*)
(*) có ( = 49 nên (*) (
hay
(loại)
Do đó, (C) ( x2 = 3 ( x = (

Cách khác : (C) ( (x2 – 3)(x2 + 4) = 0 ( x2 = 3 ( x = (

d)
(d)
(’ = 2 + 7 = 9 do đó (d) ( x =


Bài 2:
a) Đồ thị:











Lưu ý: (P) đi qua O(0;0),

(D) đi qua

b) PT hoành độ giao điểm của (P) và (D) là

( x2 + 2x – 8 = 0

y(-4) = 4, y(2) = 1
Vậy toạ độ giao điểm của (P) và (D) là
.
Bài 3:Thu gọn các biểu thức sau:








với x > 0;










Câu 4:
a/ Phương trình (1) có ∆’ = m2 - 4m +8 = (m - 2)2 +4 > 0 với mọi m nên phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt với mọi m.
b/ Do đó, theo Viet, với mọi m, ta có: S =
; P =

M =
=


. Khi m = 1 ta có
nhỏ nhất

lớn nhất khi m = 1
nhỏ nhất khi m = 1
Vậy M đạt giá trị nhỏ nhất là - 2 khi m = 1

Câu 5













Vì ta có do hai tam giác đồng dạng MAE và MBF
Nên

MA.MB = ME.MF (Phương tích của M đối với đường tròn tâm O)
Do hệ thức lượng trong đường tròn ta có MA.MB = MC2, mặt khác hệ thức lượng trong tam giác vuông MCO ta có MH.MO = MC2
MA.MB = MH.MO nên tứ giác AHOB nội tiếp trong đường tròn.
Xét tứ giác MKSC nội tiếp trong đường tròn đường kính MS (có hai góc K và C vuông).Vậy ta có : MK2 = ME.MF = MC2 nên MK = MC. Do đó MS chính là đường trung trực của KC nên MS vuông góc với KC tại V.
Do hệ thức lượng trong tam giác MCS ta có MC2 = MV . MS => MA.MB = MV.MS nên S,V thuộc đường tròn tâm Q .
Tương tự với ta cũng có MC2 = MV.MS = ME.MF nên S, V thuộc đường tròn tâm P từ đó dây chung SV vuông góc đường nối tâm PQ và là đường trung trực của VS (đường nối hai tâm của hai đường tròn). Nên PQ cũng đi qua trung điểm của KS (do định lí trung bình của tam giác SKV). Vậy 3 điểm T, Q, P thẳng hàng.
ThS. Hoàng Hữu Vinh
(Trung tâm luyện thi Vĩnh Viễn – TP.HCM)