DE THI VAO 10

ĐỀ THI 2003 H-N
Bài 1:Cho biểu thức:
a)Rút gọn P
b)Tìm giá trị nhỏ nhất của P
c)Tìm x để biểu thức Nhận giá trị là một số nguyên.
Bài 2:Trong mp tọađộ Oxy cho Pa ra pol (P) :y=-x2 và đường thẳng (d) đi qua điểm I(0;-1) có hệ số góc k
a)Viết pt của đường thẳng (d).Chứng minh với mọi giá trị của k ,(d) luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt Avà B
b) Gọi hoành độ của A và B là x1 và x2 ,chứng minh :
c)Chúng minh tam giác OAB vuông.
Bài 3:Cho đoạn thẳng AB = 2a coi trung điểm là O .trên cùng nửa mp bờ AB dựng nửa (O) đường kính AB và nửa (O’) đường kính AO .Trên (O’) lấy một điểm M (khác A và O) ,tia OM cắt (O) tại C ,gọi D là giao điểm thứ hai của CA với (O’)
a)Chứng minh tam giác ADM cân
b) Tiếp tuyến tại C của (O) cắt tia OD tại H ,đường tròn ngoại tiếp tam giác COH cắt (O) tại điểm thứ hai là N ,chứng minh ba điểm A,N và M thẳng hàng .
c)Tại vị trí của M sao cho ME//AB ,hãy tính OM theo a.
Bài 4:Cho hai số tự nhiên avà b ,chứng minh rằng nếu a2+b2chia hết cho 3 thì avà b cùng chia hết cho 3.
Bài 5:Cho pt
a)Giải PT với m=15
b)Tìm m để PT có 4 nghiệm phân biệt
Bài 6:Cho x,y là các số nguyên dương thõa mãn : x+y = 2003. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P= x(x2+y)+y(y2+x)
Bài 7:Cho đường tròn tâm O với dây cung BC cố định (BC<2R) và điểm A trên cung lớn BC (A không trùng với B,C và điểm chính giữa cung )Gọi H là hình chiếu của A trên BC ,Evà F lần lượt là hình chiếu của B và C trên đường kính AA’
a)Chứng minh HE vuông góc với AC
b)Chứng minh tam giác HEF đồng dạng với tam giác ABC
c)Khi A duy chuyển ,chứng minh tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác HEF cố định.
Bài 8:Lấy 4 điểm ở miền trong của một tứ giác để cùng với 4 đỉnh ta được 8 điểm ,trong đó không có 3 điểm nào thẳng hàng .Biết diện tích của tứ giác là 1,chứng minh rằng tồn tại một tam giác có 3 đỉnh lấy từ 8 điểm đã cho có diện tích không vượt quá
Tổng quát hoá bài toán cho n giác lồi với n điểm nằm ở miền trong của đa giác đó
***********************************
HƯỚNG DẪN
Bài 1:
ĐK x > 0;và xTa có
2)
Để ý rằng với x>0và xta có M
Theo BĐT Cô si ta có :0 < Q < 2 Vì Q nguyên nên Q = 1
Bài 2:
1)PT đường thẳng (d) :y=kx-1.PT hoành độ giao điểm của (P) và (d) là :
x2+kx –1= 0
Vì luôn có 2nghiệm phân biệt (đpcm)
2)Ta có x1x2=-1,từ đó ta có Nhận xét rằng x1 và cùng dấu nên :

3)PT đường thẳng OA là y= -x1x;đường thẳng OB là y= -x2x Nhưng (-x1)(-x2)=-1 vì thế tam giác OAB vuông tại O
Bài 3:
1)Ta có OAC cân tại O có OD AC MOD=DOA cân tại D
2)Dễ thấy EAO=ECO =900 hay EAAB nói cách khác EA là tiếp tuyến chung của (O) và (O’)
3)Giả sử AM cắt (O) tại N’ ,AOC=2AN’C COH=CN’H Dẫn đến tứ giác CHON’ nội tiếp trong một đường tròn ,từ đó ta có Thẳng hàng .
4)Vẽ MK Từ GT :EM//AB ,ta suy ra MEO cân tại M và tứ giác AEMK là hình chữ nhật .Đặt ME=MO=x . Ta có MO2=AO2-AM2=AO2-AO.AK=AO2-AO.ME.
Vậy x2=a2-ax.Giải ta được:x =

C N

E D M
H

A O’ K O B
Bài 4:
Nếu đặt a=3k+r với r=0,1, thì ta thấy a2 chia cho