ĐỀ THI VÀO 10

§Ò 1
C©u1 : Cho biÓu thøc
A=
Víi x(
;(1
.a, Ruý gän biÓu thøc A
.b , TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc khi cho x=

c. T×m gi¸ trÞ cña x ®Ó A=3
C©u2.a, Gi¶i hÖ ph­¬ng tr×nh:


b. Gi¶i bÊt ph­¬ng tr×nh:

<0
C©u3. Cho ph­¬ng tr×nh (2m-1)x2-2mx+1=0
X¸c ®Þnh m ®Ó ph­¬ng tr×nh trªn cã nghiÖm thuéc kho¶ng (-1,0)
C©u 4. Cho nöa ®­êng trßn t©m O , ®­êng kÝnh BC .§iÓm A thuéc nöa ®­êng trßn ®ã D­ng h×nh vu«ng ABCD thuéc nöa mÆt ph¼ng bê AB, kh«ng chøa ®Ønh C. Gäi Flµ giao ®iÓm cña Aevµ nöa ®­êng trßn (O) . Gäi Klµ giao ®iÓm cña CFvµ ED
chøng minh r»ng 4 ®iÓm E,B,F,K. n»m trªn mét ®­êng trßn
Tam gi¸c BKC lµ tam gi¸c g× ? V× sao. ?
®¸p ¸n

C©u 1: a. Rót gän A=

b.Thay x=
vµo A ta ®­îc A=

c.A=3<=> x2-3x-2=0=> x=

C©u 2 : a)§Æt x-y=a ta ®­îc pt: a2+3a=4 => a=-1;a=-4
Tõ ®ã ta cã
<=>
*
(1)
*
(2)
Gi¶i hÖ (1) ta ®­îc x=3, y=2
Gi¶i hÖ (2) ta ®­îc x=0, y=4
VËy hÖ ph­¬ng tr×nh cã nghiÖm lµ x=3, y=2 hoÆc x=0; y=4
Ta cã x3-4x2-2x-15=(x-5)(x2+x+3)
mµ x2+x+3=(x+1/2)2+11/4>0 víi mäi x
VËy bÊt ph­¬ng tr×nh t­¬ng ®­¬ng víi x-5>0 =>x>5
C©u 3: Ph­¬ng tr×nh: ( 2m-1)x2-2mx+1=0
XÐt 2m-1=0=> m=1/2 pt trë thµnh –x+1=0=> x=1
XÐt 2m-1(0=> m( 1/2 khi ®ã ta cã

= m2-2m+1= (m-1)2(0 mäi m=> pt cã nghiÖm víi mäi m
ta thÊy nghiÖm x=1 kh«ng thuéc (-1,0)
víi m( 1/2 pt cßn cã nghiÖm x=
=

pt cã nghiÖm trong kho¶ng (-1,0)=> -1<
<0

=>
=>m<0
VËy Pt cã nghiÖm trong kho¶ng (-1,0) khi vµ chØ khi m<0
C©u 4:
a. Ta cã
KEB= 900
mÆt kh¸c
BFC= 900( gãc néi tiÕp ch¾n n÷a ®­êng trßn)
do CF kÐo dµi c¾t ED t¹i D
=>
BFK= 900 => E,F thuéc ®­êng trßn ®­êng kÝnh BK
hay 4 ®iÓm E,F,B,K thuéc ®­êng trßn ®­êng kÝnh BK.
b.
BCF=
BAF
Mµ
BAF=
BAE=450=>
BCF= 450
Ta cã
BKF=
BEF
Mµ
BEF=
BEA=450(EA lµ ®­êng chÐo cña h×nh vu«ng ABED)=>
BKF=450
V×
BKC=
BCK= 450=> tam gi¸c BCK vu«ng c©n t¹i B


§Ò 2
Bµi 1: Cho biÓu thøc: P =

a,Rót gän P
b,T×m x nguyªn ®Ó P cã gi¸ trÞ nguyªn.
Bµi 2: Cho ph­¬ng tr×nh: x2-( 2m + 1)x + m2 + m - 6= 0 (*)
a.T×m m ®Ó ph­¬ng tr×nh (*) cã 2 nghiÖm ©m.
b.T×m m ®Ó ph­¬ng tr×nh (*) cã 2 nghiÖm x1; x2 tho¶ m·n
=50
Bµi 3: Cho ph­¬ng tr×nh: ax2 + bx + c = 0 cã hai nghiÖm d­¬ng ph©n biÖt x1, x2Chøng minh:
a,Ph­¬ng tr×nh ct2 + bt + a =0 còng cã hai nghiÖm d­¬ng ph©n biÖt t1 vµ t2.
b,Chøng minh: x1 + x2 + t1 + t2
4
Bµi 4: Cho tam gi¸c cã c¸c gãc nhän ABC néi tiÕp ®­êng trßn t©m O . H lµ trùc t©m cña tam gi¸c. D lµ mét ®iÓm trªn cung BC kh«ng chøa ®iÓm A.
a, X¸c ®Þnh vÞ trÝ cña ®iÎm D ®Ó tø gi¸c BHCD lµ h×nh b×nh hµnh.
b, Gäi P vµ Q lÇn l­ît lµ c¸c ®iÓm ®èi xøng cña ®iÓm D qua c¸c ®­êng th¼ng AB vµ AC . Chøng minh r»ng 3 ®iÓm P; H; Q th¼ng hµng.
c, T×m vÞ trÝ cña ®iÓm D ®Ó PQ cã ®é dµi lín nhÊt.
Bµi 5: Cho hai sè d­¬ng x; y tho¶ m·n: x + y
1
T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña: A =

§¸p ¸n
Bµi 1: (2 ®iÓm). §K: x

a, Rót gän: P =
<=> P =

b. P =

§Ó P nguyªn th×


VËy víi x=
th× P cã gi¸ trÞ nguyªn.
Bµi 2: §Ó ph­¬ng tr×nh cã hai nghiÖm ©m th×:



b. Gi¶i ph­¬ng tr×nh:



Bµi 3: a. V× x1 lµ nghiÖm cña ph­¬ng tr×nh: ax2 + bx + c = 0 nªn ax12 + bx1 + c =0. .
V× x1> 0 => c.
Chøng tá
lµ mét nghiÖm d­¬ng cña ph­¬ng tr×nh: ct2 + bt + a = 0; t1 =
V× x2 lµ nghiÖm cña ph­¬ng tr×nh:
ax2 + bx + c = 0 => ax22 + bx2 + c =0
v× x2> 0 nªn c.
®iÒu nµy chøng tá
lµ mét nghiÖm d­¬ng cña ph­¬ng tr×nh ct2 + bt + a = 0 ; t2 =

VËy nÕu ph­¬ng tr×nh: ax2 + bx + c =0 cã hai nghiÑm d­¬ng ph©n biÖt x1; x2 th× ph­¬ng tr×nh : ct2 + bt + a =0 còng cã hai nghiÖm d­¬ng ph©n biÖt t1 ; t2 . t1 =
; t2 =

b. Do x1; x1; t1; t2 ®Òu lµ nh÷ng nghiÖm d­¬ng nªn
t1+ x1 =
+ x1
2 t2 + x2 =
+ x2
2
Do ®ã x1 + x2 + t1 + t2
4
Bµi 4
a. Gi¶ sö ®· t×m ®­îc ®iÓm D trªn cung BC sao cho tø gi¸c BHCD lµ h×nh b×nh hµnh . Khi ®ã: BD//HC; CD//HB v× H lµ trùc t©m tam gi¸c ABC nªn
CH
vµ BH
=> BD
vµ CD
.
Do ®ã:
ABD = 900 vµ
ACD = 900 .
VËy AD lµ ®­êng kÝnh cña ®­êng trßn t©m O
Ng­îc l¹i nÕu D lµ ®Çu ®­êng kÝnh AD
cña ®­êng trßn t©m O th×
tø gi¸c BHCD lµ h×nh b×nh hµnh.
V× P ®èi xøng víi D qua AB nªn
APB =
ADB
nh­ng
ADB =
ACB nh­ng
ADB =
ACB
Do ®ã:
APB =
ACB MÆt kh¸c:

AHB +
ACB = 1800 =>
APB +
AHB = 1800
Tø gi¸c APBH néi tiÕp ®­îc ®­êng trßn nªn
PAB =
PHB
Mµ
PAB =
DAB do ®ã:
PHB =
DAB
Chøng minh t­¬ng tù ta cã:
CHQ =
DAC
VËy
PHQ =
PHB +
BHC +
CHQ =
BAC +
BHC = 1800
Ba ®iÓm P; H; Q th¼ng hµng
c). Ta thÊy
APQ lµ tam gi¸c c©n ®Ønh A
Cã AP = AQ = AD vµ
PAQ =
2BAC kh«ng ®æi nªn c¹nh ®¸y PQ
®¹t gi¸ trÞ lín nhÊt ( AP vµ AQ lµ lín nhÊt hay ( AD lµ lín nhÊt
( D lµ ®Çu ®­êng kÝnh kÎ tõ A cña ®­êng trßn t©m O


§Ò 3
Bµi 1: Cho biÓu thøc:

a). T×m ®iÒu kiÖn cña x vµ y ®Ó P x¸c ®Þnh . Rót gän P.
b). T×m x,y nguyªn tháa m·n ph¬ng tr×nh P = 2.
Bµi 2: Cho parabol (P) : y = -x2 vµ ®êng th¼ng (d) cã hÖ sè gãc m ®i qua ®iÓm M(-1 ; -2) .
a). Chøng minh r»ng víi mäi gi¸ trÞ cña m (d) lu«n c¾t (P) t¹i hai ®iÓm A , B ph©n biÖt
b). X¸c ®Þnh m ®Ó A,B n»m vÒ hai phÝa cña trôc tung.
Bµi 3: Gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh :


Bµi 4: Cho ®­êng trßn (O) ®êng kÝnh AB = 2R vµ C lµ mét ®iÓm thuéc ®­êng trßn
. Trªn nöa mÆt ph¼ng bê AB cã chøa ®iÓm C , kÎ tia Ax tiÕp xóc víi ®êng trßn (O), gäi M lµ ®iÓm chÝnh gi÷a cña cung nhá AC . Tia BC c¾t Ax t¹i Q , tia AM c¾t BC t¹i N.
a). Chøng minh c¸c tam gi¸c BAN vµ MCN c©n .
b). Khi MB = MQ , tÝnh BC theo R.
Bµi 5: Cho
tháa m·n :


H·y tÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc : M =
+ (x8 – y8)(y9 + z9)(z10 – x10) .

§¸p ¸n

Bµi 1: a). §iÒu kiÖn ®Ó P x¸c ®Þnh lµ :;
.
*). Rót gän P:









VËy P =

b). P = 2

= 2


Ta cã: 1 +
(

( x = 0; 1; 2; 3 ; 4
Thay vµo ta cãc¸c cÆp gi¸ trÞ (4; 0) vµ (2 ; 2) tho¶ m·n
Bµi 2: a). §­êng th¼ng (d) cã hÖ sè gãc m vµ ®i qua ®iÓm M(-1 ; -2) . Nªn ph¬ng tr×nh ®êng th¼ng (d) lµ : y = mx + m – 2.
Hoµnh ®é giao ®iÓm cña (d) vµ (P) lµ nghiÖm cña ph¬ng tr×nh:
- x2 = mx + m – 2

x2 + mx + m – 2 = 0 (*)
V× ph¬ng tr×nh (*) cã
nªn ph¬ng tr×nh (*) lu«n cã hai nghiÖm ph©n biÖt , do ®ã (d) vµ (P) lu«n c¾t nhau t¹i hai ®iÓm ph©n biÖt A vµ B.
b). A vµ B n»m vÒ hai phÝa cña trôc tung
ph¬ng tr×nh : x2 + mx + m – 2 = 0 cã hai nghiÖm tr¸i dÊu
m – 2 < 0
m < 2.
Bµi 3 :


§KX§ :



Thay vµo (1) => x = y = z = 3 .
Ta thÊy x = y = z = 3 thâa m·n hÖ ph¬ng tr×nh . VËy hÖ ph¬ng tr×nh cã nghiÖm duy nhÊt x = y = z = 3.
Bµi 4:
a). XÐt
vµ
.
Ta cã: AB lµ ®êng kÝnh cña ®êng trßn (O)
nªn :AMB = NMB = 90o .
M lµ ®iÓm chÝnh gi÷a cña cung nhá AC
nªn ABM = MBN => BAM = BNM
=>
c©n ®Ønh B.
Tø gi¸c AMCB néi tiÕp
=> BAM = MCN ( cïng bï víi gãc MCB).
=> MCN = MNC ( cïng b»ng gãc BAM).
=> Tam gi¸c MCN c©n ®Ønh M
b). XÐt
vµ
cã :
MC = MN (theo cm trªn MNC c©n ) ; MB = MQ ( theo gt)

BMC =
MNQ ( v× :
MCB =
MNC ;
MBC =
MQN ).
=>
=> BC = NQ .
XÐt tam gi¸c vu«ng ABQ cã
AB2 = BC . BQ = BC(BN + NQ)
=> AB2 = BC .( AB + BC) = BC( BC + 2R)
=> 4R2 = BC( BC + 2R) => BC =

Bµi 5:
Tõ :
=>

=>



Ta cã : x8 – y8 = (x + y)(x-y)(x2+y2)(x4 + y4).=
y9 + z9 = (y + z)(y8 – y7z + y6z2 - .......... + z8)
z10- x10 = (z + x)(z4 – z3x + z2x2 – zx3 + x4)(z5 - x5)
VËy M =
+ (x + y) (y + z) (z + x).A =



§Ò 4
Bµi 1: 1) Cho ®­êng th¼ng d x¸c ®Þnh bëi y = 2x + 4. §­êng th¼ng d/ ®èi xøng víi ®­êng th¼ng d qua ®­êng th¼ng y = x lµ:
A.y =
x + 2 ; B.y = x - 2 ; C.y =
x - 2 ; D.y = - 2x - 4
H·y chän c©u tr¶ lêi ®óng.

2) Mét h×nh trô cã chiÒu cao gÊp ®«i ®­êng kÝnh ®¸y ®ùng ®Çy n­íc, nhóng ch×m vµo b×nh mét h×nh cÇu khi lÊy ra mùc n­íc trong b×nh cßn l¹i
b×nh. TØ sè gi÷a b¸n kÝnh h×nh trô vµ b¸n kÝnh h×nh cÇu lµ A.2 ; B.
; C.
; D. mét kÕt qu¶ kh¸c.
B×a2: 1) Gi¶i ph­¬ng tr×nh: 2x4 - 11 x3 + 19x2 - 11 x + 2 = 0
2) Cho x + y = 1 (x > 0; y > 0) T×m gi¸ trÞ lín nhÊt cña A =
+

Bµi 3: 1) T×m c¸c sè nguyªn a, b, c sao cho ®a thøc : (x + a)(x - 4) - 7
Ph©n tÝch thµnh thõa sè ®­îc : (x + b).(x + c)
2) Cho tam gi¸c nhän x©y, B, C lÇn l­ît lµ c¸c ®iÓm cè ®Þnh trªn tia Ax, Ay sao cho AB < AC, ®iÓm M di ®éng trong gãc xAy sao cho
=

X¸c ®Þnh vÞ trÝ ®iÓm M ®Ó MB + 2 MC ®¹t gi¸ trÞ nhá nhÊt.
Bµi 4: Cho ®­êng trßn t©m O ®­êng kÝnh AB vµ CD vu«ng gãc víi nhau, lÊy ®iÓm I bÊt kú trªn ®oan CD.
a) T×m ®iÓm M trªn tia AD, ®iÓm N trªn tia AC sao cho I lag trung ®iÓm cña MN.
b) Chøng minh tæng MA + NA kh«ng ®æi.
c) Chøng minh r»ng ®­êng trßn ngo¹i tiÕp tam gi¸c AMN ®i qua hai ®iÓm cè ®Þnh.

H­íng dÉn

Bµi 1: 1) Chän C. Tr¶ lêi ®óng.
2) Chän D. KÕt qu¶ kh¸c: §¸p sè lµ: 1

Bµi 2 : 1)A = (n + 1)4 + n4 + 1 = (n2 + 2n + 1)2 - n2 + (n4 + n2 + 1)
= (n2 + 3n + 1)(n2 + n + 1) + (n2 + n + 1)(n2 - n + 1)
= (n2 + n + 1)(2n2 + 2n + 2) = 2(n2 + n + 1)2
VËy A chia hÕt cho 1 sè chÝnh ph­¬ng kh¸c 1 víi mäi sè nguyªn d­¬ng n.
2) Do A > 0 nªn A lín nhÊt
A2 lín nhÊt.
XÐt A2 = (
+
)2 = x + y + 2
= 1 + 2
(1)
Ta cã:

(BÊt ®¼ng thøc C« si)
=> 1 > 2
(2)

Tõ (1) vµ (2) suy ra: A2 = 1 + 2
< 1 + 2 = 2
Max A2 = 2 <=> x = y =
, max A =
<=> x = y =

Bµi3 C©u 1Víi mäi x ta cã (x + a)(x - 4) - 7 = (x + b)(x + c)
Nªn víi x = 4 th× - 7 = (4 + b)(4 + c)
Cã 2 tr­êng hîp: 4 + b = 1 vµ 4 + b = 7
4 + c = - 7 4 + c = - 1
Tr­êng hîp thø nhÊt cho b = - 3, c = - 11, a = - 10
Ta