đề thi và đáp án thi HSG cấp Huyện

PHÒNG GD & ĐT NINH HẢI KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI HUYỆN
Năm học : 2006 - 2007
Trường THCS Lý Thường Kiệt Môn : Toán
______________________________ Thời gian : 120 phút ( không kể phát đề )
________________________________

ĐỀ :
Bài 1: Chứng minh rằng: n3- 3n2 - n + 3 chia hết cho 48 với mọi số n tự nhiên lẻ.

Bài 2: a) Giải phương trình
b)

Bài 3: Tính giá trị biểu thức
A =
B =

Bài 4: Tam giác ABC có AB = 4 cm, AC = 9 cm, 1200 và đường phân giác AM. Tính độ dài đường phân giác AM

Bài 5: Cho tứ giác ABCD có AD = BC. Gọi M và N là trung điểm của AB và CD. DA cắt MN tại E, CB cắt MN tại F. Chứng minh góc E bằng góc F.
























ĐÁP ÁN – BIỂU ĐIỂM
Bài 1: ( 2 điểm )
Ta có: n3- 3n2 - n + 3 = ( n3- 3n2 ) – ( n – 3 ) = n2 ( n – 3 ) – ( n – 3 ) = ( n – 3 )( n2 – 1 )
= ( n – 3 ) ( n + 1 ) ( n – 1 ) (*)
Do n là số tự nhiên lẻ, nên n = 2k + 1
Vậy (*) = ( 2k +1 – 3 ) ( 2k + 1 + 1 ) ( 2k + 1 – 1 ) = ( 2k – 2 ) ( 2k + 2 ) 2k = 8 ( k – 1 ) k ( k + 1 )
Do :
Vậy : n3- 3n2 - n + 3 chia hết cho 48.
Bài 2: ( 2 điểm )
Giải phương trình:
a) (*)
* Khi x 1 P.trình (*) 1 – x + 2 – x = 3 2x = 0 x = 0 ( nhận )
* Khi 1 x 2 P.trình (*) x – 1 + 2 – x = 3 0x = 4 ( vô nghiệm )
* Khi x 2 P. trình (*) x – 1 + x – 2 = 3 2x = 6 x = 3 ( nhận )
Vậy phương trình có 2 nghiệm: x = 0 khi x 1 và x = 3 khi x 2.
b)
(Đk:
Với đ.k trên, 2 vế của p.trình không âm, nên bình phương 2 vế ta được:

(đ.k: -1 x 3 )

x2 + 5x + 4 = 9 – 6x + x2
11x = 5
x = ( thỏa đ.k)
Vậy p.trình có nghiệm x =
Bài 3: ( 2 điểm )
A2 = 2=
= 2 + 3 + 5 +
=
A =
B2 =
= 4 +
= 8 + 2
B =





Bài 4: ( 2 điểm )




Kẻ CH AB, BI AM và CK AM.
Ta có: SABC = SABM + SACM



AB.AC = AM( AB+AC)

4.9 = AM.(4+9)

AM = (cm)

Bài 5( 2 điểm )




Kẻ NP // AD và MP// BC.
Ta có: NP = AD ( t/c đường trung bình trong ABD )
MP = BC ( t/c đường trung bình trong BCD )
Mà AD = BC , nên NP = MP.
Suy ra MNP cân tại P.
Nên
Màđồng vị ) ; ( slt )
Vậy (đcm )


Tri Hải, ngày 3 tháng 11 năm 2008
GVBM




Trương Hoàng Nam