De thi va dap an HSG toan 9

đề thi tuyển sinh vào lớp 10 chuyên lam sơn
Môn: Toán - Thời gian làm bài 150’

Câu I (2đ): 1) Cho biết a = x.y +

b = x
+ y

Giả thiết rằng: xy dơng, hãy tính b theo a.
2) Tìm các giá trị của a để tổng bình phơng các nghiệm của phơng trình: x2 - (a-1)x - a2 + a - 2 = 0 đạt giá trị nhỏ nhất.

Câu II (2đ): 1) Giải hệ phơng trình: 2x2 - y2 = 1
xy + x2 = 2
2) Cho hàm số y = x2 với x ( -1 (1). Vẽ đồ thị (c) của hàm số(1) và tìm b để đờng thẳng y = x + b cắt đồ thị (c) tại hai điểm A, B lần lợt có hoành độ trái dấu.
Câu III (2đ): 1) Giải phơng trình: (x2 - 3x + 2) (x2 + 15x + 56) + 8 = 0
2) Cho n số thực a1, a2,, …., an sao cho a13 + a23 +…+ an3 = 0
Chứng minh: a1 + a2 + ….+ an (. Biết rằng - 1 ( ai ( 1 với i =1,2,…,n
Câu IV (3đ): Cho hình vuông ABCD
1) 0 là một điểm bên trong hình vuông. Dựng điểm E trên đờng thẳng d chứa cạnh AB, điểm F trên đờng thẳng d’ chứa cạnh DC sao cho ( E0F vuông ở 0 và có diện tích nhỏ nhất.
2) Trên cạnh BC và CD lấy hai điểm tơng ứng M và N sao cho MAN = 450. BD cắt AM, AN lần lợt tại I và K.
Chứng minh S(CIK = S(NMIK.
Câu V(1đ): Cho đờng tròn (0; R), dựng đờng tròn (0’; R’) sao cho 0 nằm trên đờng tròn (0’, R’). Dây AB của đờng tròn (0; R) di động và tiếp xúc với đờng tròn (0’; R’) tại điểm C. Xác định vị trí của dây AB để AC2 + BC2 đạt giá trị lớn nhất.

*****












đáp án và biểu chấm toán tuyển sinh vào lớp 10
chuyên Lam sơn

Câu

Nội dung
Điểm

I


2.0đ


I1

1.0đ



Ta có: a2 = 1 + x2 + y2 + 2x2y2 + 2xy
(1)
b2 = x2 + y2 + 2x2y2 + 2xy
(2)
So sánh (1) và (2) suy ra b2 = a2 - 1
Do xy > 0 nên ta xét hai trờng hợp sau:
+ Nếu x > 0 và y > 0 thì b > 0, từ đó ta có: b =

+ Nếu x < 0 và y < 0 thì b < 0. Từ đó ta có: b = -

0,25đ
0,25đ



0,5đ


I2

1.0đ




Ta có a2- a + 2 = (a - )2 + ( ( - ((a- )2 + ( < 0

Vậy phơng trình đã cho có hai nghiệm phân biệt (trái dấu)
Gọi x1, x2 là hai nghiệm của phơng trình, Ta có: với mọi a
x12 + x22 = (x1 + x2)2 - 2x1x2 = (a-1)2 + 2(a2 - a + 2)

= 3(( a - )2 + ( = 3(a- )2 + (

Dấu bằng xảy ra khi a = . Vậy GTNN của x12 + x22 bằng


0,25đ

0,25đ

0,25đ

0,25đ

II


2,0đ


II1

1