Đê thi và đáp án HSG Tỉnh quảng ngãi năm học 2011-2012

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 CẤP TỈNH
QUẢNG NGÃI Ngày thi 29 tháng 3 năm 2012 Môn: Toán
Thời gian làm bài: 150 phút.


Bài 1: (4,0 điểm)
a) Tìm các cặp số nguyên dương (x; y) thỏa mãn:

b) Chứng minh rằng với mọi a
thì biểu thức A =
có giá trị là số tự nhiên.

Bài 2: (4,0 điểm)
a) Giải phương trình:

b) Giải hệ phương trình:
với x, y, z
0
Bài 3: (4,0 điểm)
a) Cho a =
. Tính giá trị của biểu thức:

b) Cho a và b là các số thực dương.
Chứng minh rằng:


Bài 4: (5,0 điểm)
Trên đường tròn (O) đường kính AB lấy điểm M (M khác A và B). Từ điểm C trên đoạn OB (C khác B) kẻ CN vuông góc với AM tại N. Đường phân giác của
cắt CN tại I và cắt đường tròn (O) tại P; đường thẳng MI cắt đường tròn (O) tại điểm thứ hai là Q.
a) Chứng minh ba điểm P; C; Q thẳng hàng.
b) Khi BC = AM, hãy chứng minh tia MI đi qua trung điểm của đoạn AC.

Bài 5: (3,0 điểm)
Cho tam giác nhọn ABC có đường cao AH. Trên các đoạn AH, AB, AC lần lượt lấy các điểm D, E, F sao cho
(E khác B).
Chứng minh rằng EF // BC.

HẾT
Ghi chú: Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm









SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 CẤP TỈNH
QUẢNG NGÃI HƯỚNG DẪN CHẤM Môn Toán


Bài 1: (4,0 điểm)
a) Tìm các cặp số nguyên dương (x; y) thỏa mãn:


Tóm tắt cách giải

Từ

.


.

Ta xét các trường hợp sau :
*
*

*
*

Các cặp số nguyên dương đều thỏa mãn đẳng thức trên.
Vậy các cặp số cần tìm là : (3; 36); (4; 14); (8; 6); (19; 4)

b) Chứng minh rằng với mọi a
thì biểu thức A =
có giá trị là số tự nhiên.
Tóm tắt cách giải

Ta có A=
=

Đặt M =

M =

Với mọi a
ta có:
+ Trong tích có ít nhất 2 số tự nhiên chẵn liên tiếp, nên M

+ M là tích của 5 số tự nhiên liên tiếp, nên M

+ M chứa tích của 3 số tự nhiên liên tiếp, nên M

Vì (3; 5; 8) = 1 nên

Do đó
là số tự nhiên với mọi a


Bài 2: (4,0 điểm)
a) Giải phương trình:

Tóm tắt cách giải


( 1 )Điều kiện: x
–1.
(1)
(x2 – 6x + 9 ) + ( x + 1– 4
+ 4) = 0
( x – 3)2 + (
– 2)2 = 0








(TM ĐK)
Vậy phương trình có 1 nghiệm là x = 3.

b) Giải hệ phương trình:
với x, y, z
0




Tóm tắt cách giải

Hệ phương trình:
với x, y, z
0
Thế (1) vào (2) ta có z = x3 (4)
Thế (1) và (4) vào (3) ta có:
hay

Vì x
0 nên ta có x2 = x + 6
x2 – x – 6 = 0

(x + 2)(x – 3) = 0


Với x = –2
y = 4; z = –8
Với x = 3
y = 9; z = 27
Vậy nghiệm của hệ phương trình là: (–2 ; 4 ; –8) và (3 ; 9 ; 27).

Bài 3: (4,0 điểm)
a) Cho a =
. Tính giá trị của biểu thức:

Tóm tắt cách giải

Ta có:



 b) Cho a và b là các số thực dương. Chứng minh rằng: