Đề thi tuyển sinh& trường chuên hay

GIẢI ĐỀ CHUYÊN TOÁN THPT HUỲNH MẪN ĐẠT – KIÊN GIANG, NĂM 2009 – 2010

Đề, lời giải Cách khác, nhận xét
Bài 1: (1 điểm) Cho phương trình ax2 + bx + c = 0 có 2 nghiệm phân biệt x1, x2. Đặt S2 = x12 + x22 ; S1 = x1.x2 Chứng minh rằng: a.S2 + b.S1 + 2c = 0
Theo Vi-ét ta có: x1+ x2 =
; x1.x2 =



Bài 2: (2 điểm)
Cho phương trình: 2x - 7
+ 3m – 4 = 0 (1)
a/ Định m để phương trình có một nghiệm bằng 9 và tìm tất cả nghiệm còn lại của phương trình.
b/ Tìm tất cả các giá trị của m để phương trình (1) có nghiệm.
a/ Phương trình có 1 nghiệm x = 9 thay vào pt ta có:
2.9 - 7
+3m – 4 = 0
3m = 7
m = 7/3
Từ (1) ta có x
thế vào (1) ta được pt:


Đặt
ta có pt: 2t2 – 7t + 3 = 0
Giải tìm được t1 = 3 ; t2 = ½
Suy ra x1 = 9 ; x2 = ¼
b/ Từ (1) coi phương trình với ẩn là

Lập

Để pt (1) có nghiệm thì:


Cách khác:


x1 = 9

mà

Câu b:
Có thể yêu cầu tìm số nguyên lớn nhất của m để phương trình (1) có nghiệm.
Chú ý: nếu thay
bởi
ta có bài toán tương tự.


Bài 3: (2 điểm) Giải hệ phương trình:
(I)
Nhân (1) (2) và (3) ta có:
[(x + 1)(y + 2)(z + 3)]2 = 36 (x + 1)(y + 2)(z + 3) = 6 hoặc (x + 1)(y + 2)(z + 3) = -6
Với (x + 1)(y + 2)(z + 3) = 6 hệ (I) là:


Với (x + 1)(y + 2)(z + 3) = - 6 hệ (I) là:


Vậy nghiệm của hệ là (0 ; 0 ; 0) và (-2 ; -4 ; -6)


Nếu x, y, z đều là các số dương thì hệ chỉ có 1 nghiệm

Bài 4: (2 điểm) Trong mặt phẳng tọa độ cho parabol (P):
, điểm I(0 ; 3) và điểm M(m ; 0)
Với m là tham số khác 0.
a/ Viết phương trình đường thẳng (d) đi qua hai điểm M, I
b/ Chứng minh rằng (d) luôn luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt A, B với AB > 6

a/ Gọi pt của (d) là y = ax + b
Khi đi qua I(0 ; 3) và M(m ; 0) ta có:


b/ Phương trình hoành độ giao điểm của (d) và (P):


Vậy (d) luôn cắt (P) tại 2 điểm phân biệt.
Chứng minh AB > 6
Vì A, B là giao điểm của (d) và (P) nên hoành độ xA, xB phải thỏa mãn pt: mx2 + 9x – 9m = 0
Theo Vi-ét ta có: xA+ xB =
; xA. xB = -9
Do A, B

Theo công thức tính khoảng cách:


















Bài 5: (3 điểm) Cho hai đường tròn (O ; R) và (O’ ; R’) cắt nhau tại A và B (R > R’). Tiếp tuyến tại B của
(O’ ; R’) cắt (O ; R) tại C và tiếp tuyến tại B của (O ; R) cắt (O’ ; R’) tại D.
a/ Chứng minh rằng: AB2 = AC.AD và

b/ Lấy điểm E đối xứng của B qua A. Chứng minh bốn điểm B, C, E, D thuộc một đường tròn có tâm là K. Xác định tâm K của đường tròn.

a/ Xét (O) ta có
(chắn cung AnB)
Xét (O’) ta có
(chắn cung AmB)


b/ Từ (1) thay AE = AB ta có

(*) mặt khác:


Từ (*) và (**) suy ra:


Vậy tứ giác BCED nội tiếp đường tròn tâm K. Với K là gaio điểm 3 đường trực của
hoặc