De thi toan chuyen thpt

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
THÁI BÌNH
ĐỀ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN NĂM HỌC 2015-2016
MÔN THI: TOÁN
(Dành cho tất cả thí sinh)
Thời gian làm bài: 120 phút (không kể thời gian giao đề)


Bài 1 (3,0 điểm).
Cho biểu thức:

.
a) Rút gọn biểu thức P.
b) Tính giá trị của biểu thức P khi
.
c) Chứng minh rằng: với mọi giá trị của
để biểu thức P có nghĩa thì biểu thức
chỉ nhận một giá trị nguyên.
Bài 2 (2,0 điểm).
Cho phương trình
(
là tham số).
a) Giải phương trình khi
.
b) Tìm
để phương trình có hai nghiệm phân biệt trong đó có một nghiệm bằng bình phương nghiệm còn lại.
Bài 3 (1,0 điểm).
Giải phương trình:
.
Bài 4 (3,5 điểm).
Cho tam giác ABC vuông tại đỉnh A, đường cao AH. Đường tròn đường kính AH, tâm O, cắt các cạnh AB và AC lần lượt tại E và F. Gọi M là trung điểm của cạnh HC.
a) Chứng minh AE.AB = AF.AC.
b) Chứng minh rằng MF là tiếp tuyến của đường tròn đường kính AH.
c) Chứng minh
.
d) Xác định điểm trực tâm của tam giác ABM.
Bài 5 (0,5 điểm). Cho các số dương
thỏa mãn
. Chứng minh rằng:

.



Họ và tên thí sinh:……………………………………………………SBD:…………………
ĐÁP ÁN
CÂU
NỘI DUNG
ĐIỂM

1a


0,25




0,5




0,5




0,25

1b
Ta có

0,25


Thay vào biểu thức

0,25


Tính được kết quả

0,25

1c
Đưa được

0,25


Đánh giá
, suy ra

0,25


Vậy
chỉ nhận một giá trị nguyên đó là 1 khi

0,25

2a
Khi
ta có phương trình

0,5


Giải phương trình ta được hai nghiệm:

0,5

2b
Tính được

0,25


Để phương trình có hai nghiệm phân biệt

0,25


Gọi
là hai nghiệm của phương trình, theo Viet ta có




Giả sử
thay vào (2) ta được

0,25


Thay hai nghiệm
vào (1) ta được




Khẳng định hai giá trị
vừa tìm được thỏa mãn điều kiện (*), kết luận
0,25

3
Điều kiện:
, đưa phương trình trở thành:

0,25


Đặt ẩn phụ:
, phương trình trở thành:

0,25


Trường hợp:
ta có
(vô nghiệm)
0,25


Trường hợp:
ta có

0,25

4a


Xét hai tam giác: AEF và ACB có góc A chung
0,25


Ta có
suy ra

(hoặc
suy ra
)
0,25


Suy ra hai tam giác AEF và ACB đồng dạng
0,25


Từ tỷ số đồng dạng
ta có AE.AB = AC.AF
0,25

4b
Xét hai tam giác OHM và OFM có OM chung, OF = OH.
0,25


Có MF = MH (vì tam giác HFC vuông tại F, trung tuyến FM)
0,25


Suy ra
(c.c.c)
0,25


Từ đó
, MF là tiếp tuyến của đường tròn đường kính AH
0,25

4c
Xét hai tam giác AHM và BHO có

0,25


Trong tam giác vuông ABC, đường cao AH có

0,25


Suy ra

0,25


Suy ra

0,25

4d
Gọi K là giao điểm của AM với đường tròn



Ta có
, suy ra BO // HK
0,25


Mà
, suy ra
, suy ra O là trực tâm của tam giác ABM
0,25


5
Giả sử
, từ giả thiết suy ra
. Ta có bất đẳng thức sau:
(luôn đúng).
Vậy ta cần chứng minh:

0,25




Bất đẳng thức hiển nhiên đúng vì

hay
.
Dấu bằng xảy ra khi

0,25





Cho các số dương
thỏa