De thi toan 9

PHÒNG GD & ĐT ĐỨC THỌ
ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN. VÒNG II
NĂM HỌC: 2011 - 2012
Môn thi: TOÁN 9.Thời gian: 150 phút (Không kể thời gian giao đề)




Bài 1. (4,0 điểm)
a) Cho các số nguyên a, b, c thỏa mãn:
.
Chứng minh rằng: M = ( 1 + a2 )( 1 + b2 )( 1 + c2 ) là số chính phương.

Bài 2. (4,0 điểm)
a) Giải phương trình:

b) Cho x, y, z là ba số dương thoả mãn x + y + z = 3. Chứng minh rằng:

.
Bài 3. (4,0 điểm)
a) Cho các số nguyên a1, a2, a3, ... , an. Đặt S =
+
+ ... +
và P = a1 + a2 + ... + an .
Chứng minh rằng: S chia hết cho 6 khi và chỉ khi P chia hết cho 6.

Bài 4.(5,0 điểm)
Cho hình vuông ABCD cạnh bằng a và điểm N trên cạnh AB. Gọi E là giao điểm của CN và DA. Kẻ tia Cx vuông góc với CE cắt AB tại F; M là trung điểm của đoạn thẳng EF.
1. Chứng minh rằng:
a) CE = CF
b)

c) Khi điểm N di chuyển trên cạnh AB (N không trùng với A và B) thì M chuyển động trên một đường thẳng cố định.
2. Đặt BN = x
a) Tính diện tích tứ giác ACFE theo a và x.
b) Xác định vị trí của điểm N trên cạnh AB sao cho diện tích tứ giác ACFE gấp 3 lần diện tích hình vuông ABCD.
Bài 5: ( 3 điểm) Cho đa giác lồi 2012 cạnh A1A2A3…A2012 và một điểm O nằm trong đa giác. Các cạnh của đa giác được đánh số một cách tùy ý bởi các số 1, 2, 3, … 2012. Người ta cũng đánh số các đoạn thẳng OA1, OA2, OA3, …, OA2012 bằng chính các số trên, hai cách đánh số này hoàn toàn độc lập với nhau. Có thể đánh số theo một cách nào đó để cho tất cả các tam giác OA1A2, OA2A3,…,OA2012A1 có chu vi bằng nhau hay không?


--------Hết.--------