De thi toan 10
Chia sẻ bởi Mai Thi Khuyen |
Ngày 13/10/2018 |
55
Chia sẻ tài liệu: de thi toan 10 thuộc Hình học 8
Nội dung tài liệu:
TRƯỜNG THPT CHUYÊN
THÁI NGUYÊN
ĐỀ THI OLYMPIC TRẠI HÈ HÙNG VƯƠNG NĂM 2015
Môn: Toán – Lớp 10
Thời gian làm bài: 180 phút ( không kể thời gian giao đề)
(Đề gồm 01 trang)
(4 điểm)
Giải phương trình sau trên : .
(4 điểm)
Trên mặt phẳng cho trước hai điểm cố định M, N và tam giác ABC có Cho tam giác ABC chuyển động trượt trên mặt phẳng sao cho độ dài ba cạnh AB, BC, CA không đổi. Đường thẳng AB qua M và đường thẳng AC qua N. Chứng minh rằng đường thẳng BC luôn tiếp xúc với một đường tròn cố định.
(4 điểm)
Cho số nguyên . Chứng minh rằng với số tùy ý thuộc thì ta luôn có
.
(4 điểm)
Cho các số nguyên dương với . Chứng minh rằng số các nghiệm nguyên dương của hệ bằng
(4 điểm)
a) Chứng minh rằng nếu và đều chia hết cho số nguyên tố , mà là số nguyên dương nhỏ nhất thì chia hết cho
b) Tìm ước số nguyên tố của số , biết rằng
..…….……………….HẾT………………………
TRƯỜNG THPT CHUYÊN
THÁI NGUYÊN
HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI OLYMPIC TRẠI HÈ HÙNG VƯƠNG NĂM 2015
Môn: TOÁN - LỚP 10
Thời gian làm bài: 180 phút ( không kể thời gian giao đề)
(Hướng dẫn chấm gồm 04 trang)
Nội dung
Điểm
Bài 1. Giải phương trình sau trên :
4,0
Phương trình đã cho được viết lại
Đặt , thay vào ta được
1,0
Ta có
Vậy
1,0
Với , ta có
1,0
Với , ta có . Do và nên từ (3) ta được
Từ đó
Phương trình đã cho có các nghiệm .
1,0
Bài 2. Trên mặt phẳng cho trước hai điểm cố định M, N và tam giác ABC có Cho tam giác ABC chuyển động trượt trên mặt phẳng sao cho độ dài ba cạnh AB, BC, CA không đổi. Đường thẳng AB qua M và đường thẳng AC qua N. Chứng minh rằng đường thẳng BC luôn tiếp xúc với một đường tròn cố định.
4,0
Từ giả thiết ta có 4 trường hợp:
1,0
Trong 2 trường hợp (1) và (2), do không đổi và M, N cố định nên đỉnh A chạy trên cung chứa góc vẽ trên đoạn MN.
Trong trường hợp (3) và (4), đỉnh A chạy trên cung chứa góc vẽ trên đoạn MN và khác phía với cung chứa góc nói trên.
Vậy A chạy trên đường tròn cố định.
1,0
Ta chỉ cần xét trường hợp (1), các trường hợp còn lại lập luận tương tự. Từ A kẻ đường thẳng song song với BC cắt đường tròn (O) tại I. Kẻ đường cao AH của tam giác ABC. Từ I hạ . Vì bằng hoặc bù với không đổi và N cố định nên I cố định và không đổi.
Vậy BC tiếp xúc với đường tròn cố định tâm I, bán kính .
2,0
Bài 3. Cho số nguyên . Chứng minh rằng với số tùy ý thuộc thì ta luôn có
4,0
Ta chứng minh bằng quy nạp
Với ta có . Suy ra
1,0
Giả sử bất đẳng thức đã cho đúng với , ta chứng minh nó cũng đúng với
Lấy số . Xét hàm số , đây là hàm bậc nhất hoặc hàm hằng.
1,0
Ta có (do giả thiết quy nạp)
Và
1,0
Từ đó suy ra . Đặc biệt , tức là ta có
hay
1,0
Bài 4. Cho các số nguyên dương với . Chứng minh rằng số các nghiệm nguyên dương của hệ bằng
4,0
Trước hết ta chứng minh bổ đề sau:
Số nghiệm nguyên dương của phương trình là
Thật vậy, ta xét n cái hộp (khác nhau) và a quả cầu giống nhau.
Mỗi nghiệm nguyên dương tương ứng với một sự phân bố a quả cầu này vào n cái hộp trên, trong đó hộp chứa quả cầu.
Ta biểu diễn a quả cầu này trên đường thẳng, a quả cầu này tạo ra khoảng trống giữa chúng. Hai hộp được ngăn cách nhau bởi vách ngăn (
THÁI NGUYÊN
ĐỀ THI OLYMPIC TRẠI HÈ HÙNG VƯƠNG NĂM 2015
Môn: Toán – Lớp 10
Thời gian làm bài: 180 phút ( không kể thời gian giao đề)
(Đề gồm 01 trang)
(4 điểm)
Giải phương trình sau trên : .
(4 điểm)
Trên mặt phẳng cho trước hai điểm cố định M, N và tam giác ABC có Cho tam giác ABC chuyển động trượt trên mặt phẳng sao cho độ dài ba cạnh AB, BC, CA không đổi. Đường thẳng AB qua M và đường thẳng AC qua N. Chứng minh rằng đường thẳng BC luôn tiếp xúc với một đường tròn cố định.
(4 điểm)
Cho số nguyên . Chứng minh rằng với số tùy ý thuộc thì ta luôn có
.
(4 điểm)
Cho các số nguyên dương với . Chứng minh rằng số các nghiệm nguyên dương của hệ bằng
(4 điểm)
a) Chứng minh rằng nếu và đều chia hết cho số nguyên tố , mà là số nguyên dương nhỏ nhất thì chia hết cho
b) Tìm ước số nguyên tố của số , biết rằng
..…….……………….HẾT………………………
TRƯỜNG THPT CHUYÊN
THÁI NGUYÊN
HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI OLYMPIC TRẠI HÈ HÙNG VƯƠNG NĂM 2015
Môn: TOÁN - LỚP 10
Thời gian làm bài: 180 phút ( không kể thời gian giao đề)
(Hướng dẫn chấm gồm 04 trang)
Nội dung
Điểm
Bài 1. Giải phương trình sau trên :
4,0
Phương trình đã cho được viết lại
Đặt , thay vào ta được
1,0
Ta có
Vậy
1,0
Với , ta có
1,0
Với , ta có . Do và nên từ (3) ta được
Từ đó
Phương trình đã cho có các nghiệm .
1,0
Bài 2. Trên mặt phẳng cho trước hai điểm cố định M, N và tam giác ABC có Cho tam giác ABC chuyển động trượt trên mặt phẳng sao cho độ dài ba cạnh AB, BC, CA không đổi. Đường thẳng AB qua M và đường thẳng AC qua N. Chứng minh rằng đường thẳng BC luôn tiếp xúc với một đường tròn cố định.
4,0
Từ giả thiết ta có 4 trường hợp:
1,0
Trong 2 trường hợp (1) và (2), do không đổi và M, N cố định nên đỉnh A chạy trên cung chứa góc vẽ trên đoạn MN.
Trong trường hợp (3) và (4), đỉnh A chạy trên cung chứa góc vẽ trên đoạn MN và khác phía với cung chứa góc nói trên.
Vậy A chạy trên đường tròn cố định.
1,0
Ta chỉ cần xét trường hợp (1), các trường hợp còn lại lập luận tương tự. Từ A kẻ đường thẳng song song với BC cắt đường tròn (O) tại I. Kẻ đường cao AH của tam giác ABC. Từ I hạ . Vì bằng hoặc bù với không đổi và N cố định nên I cố định và không đổi.
Vậy BC tiếp xúc với đường tròn cố định tâm I, bán kính .
2,0
Bài 3. Cho số nguyên . Chứng minh rằng với số tùy ý thuộc thì ta luôn có
4,0
Ta chứng minh bằng quy nạp
Với ta có . Suy ra
1,0
Giả sử bất đẳng thức đã cho đúng với , ta chứng minh nó cũng đúng với
Lấy số . Xét hàm số , đây là hàm bậc nhất hoặc hàm hằng.
1,0
Ta có (do giả thiết quy nạp)
Và
1,0
Từ đó suy ra . Đặc biệt , tức là ta có
hay
1,0
Bài 4. Cho các số nguyên dương với . Chứng minh rằng số các nghiệm nguyên dương của hệ bằng
4,0
Trước hết ta chứng minh bổ đề sau:
Số nghiệm nguyên dương của phương trình là
Thật vậy, ta xét n cái hộp (khác nhau) và a quả cầu giống nhau.
Mỗi nghiệm nguyên dương tương ứng với một sự phân bố a quả cầu này vào n cái hộp trên, trong đó hộp chứa quả cầu.
Ta biểu diễn a quả cầu này trên đường thẳng, a quả cầu này tạo ra khoảng trống giữa chúng. Hai hộp được ngăn cách nhau bởi vách ngăn (
* Một số tài liệu cũ có thể bị lỗi font khi hiển thị do dùng bộ mã không phải Unikey ...
Người chia sẻ: Mai Thi Khuyen
Dung lượng: 335,00KB|
Lượt tài: 1
Loại file: doc
Nguồn : Chưa rõ
(Tài liệu chưa được thẩm định)